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Lehrsatz beweisen mit Pyramidenstumpf
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Lehrsatz, Pyramidenstumpf
 
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Hallo, da bin ich mal wieder. Und hänge derzeit an folgender Aufgabe fest. Beweisen Sie den Lehrsatz: In einem geraden Pyramidenstumpf mit rechteckigen Grund-und Deckflächen werden die Raumdiagonalen von ihrem gemeinsamen Schittpunkt in demselben Verhältnis geteilt, in dem die entsprechenden Seiten der Grund-und Deckenflächen stehen. Habe leider keine Ahnung wie Ich vorgehen soll... |
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Hallo, schneide Deinen Pyramidenstumpf mal entlang zweier Raumdiagonalen auf. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten: 1. Grund- und Deckfläche werden beide in einer ihrer Kante geschnitten. Die beiden Kanten sind sich in dem Pyramidenstumpf räumlich gesehen "gegenüberliegend". Die Länge der Kanten ist entweder beidesmal die der längeren Rechtecksseiten der Grund- und Deckfläche oder beidesmal die der kürzeren Rechtecksseiten. Die entstehende Schnittfigur ist ein Trapez, die Raumdiagonalen, entlang derer Du geschnitten hast sind die Diagonalen des Trapezes. Die Grundseite des Trapezes ist die Kante aus der Grundfläche und die Deckseite ist die Kante aus der Deckfläche. Denk Dir jetzt die beiden schrägen Seitenflächen weg und Du siehst etwas, was Du in früheren Klassen bereits tausende Mal gesehen hast: Zwei Strahlen schneiden zwei parallele Geraden - Strahlensatz! Von hier ab solltest Du selber weiterkommen 2. Grund- und Deckfläche werden beide in einer ihrer Diagonalen geschnitten. Die entstehende Figur ist wieder unser Trapez mit den Raumdiagonalen als Diagonalen im Trapez. Grundseite ist jetzt die Diagonale aus der Grundfläche und Deckseite die Diagonale aus der Deckfläche. Für alle Diagonalen in ähnlichen Rechtecken gilt, daß sie das selbe Verhältnis wie die Seitenflächen haben. Beweis über den Pythagoras: d = sqrt(a^2+b^2) sqrt((x*a)^2+(x*b)^2) = sqrt(x^2*a^2 + x^2*b^2) = sqrt(x^2*(a^2+b^2)) = x*sqrt(a^2+b^2) = x*d Also haben Grund- und Deckseite dieses Trapezes das selbe Verhältnis wie die Seiten der Grund- und Deckfläche. Rest wie bei der ersten Möglichkeit. |
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| muss man bei der 2. möglichkeit weiterrechnen oder ist das schon fertig so? weil du geschrieben hast "rest ist wie bei möglichkeit 1". |
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Hallo, das kannst Du halten wie Du willst! Entweder Du rechnest noch einmal alles oder Du sagts, daß die Berechnungen analog zu der anderen Möglichkeit sind. Nur eines von beiden sollte da stehen! |
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