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Leibnizkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

20:15 Uhr, 26.04.2009

Kann mir jemand sagen, ob das Beispiel korrekt gelöst ist?

Beispiel:

$\sum_{4}^{\infty} {(- 1)}^{n} * \frac{n}{n² - 4 n + 3}$

Leibnizkriterium (wegen alternierender Reihe):
1.
$\frac{n}{n² - 4 n + 3} > \frac{n + 1}{(n + 1) ² - (4 * (n + 1)) + 3}$

$\frac{n}{n² - 4 n + 3} > \frac{n + 1}{n² + 2 n + 1 - 4 n - 4 + 3}$

$\frac{n}{n² - 4 n + 3} > \frac{n + 1}{n² - 2 n}$

2.
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n² - 4 n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n²}}{\frac{n²}{n²} - \frac{4 n}{n²} + \frac{3}{n²}} = \frac{0}{1} = 0$ ...konvergent

ist das korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

freakjan aktiv_icon

20:20 Uhr, 11.07.2009

Warum wird bei der Punkt 1 die

{(- 1)}^{n}

ignoriert?

pepe1 aktiv_icon

21:45 Uhr, 11.07.2009

Zu:...Warum wird beim Punkt 1 die

(- 1^{n}

ignoriert...
siehe Voraussetzungen zum Leibniz-Kriterium

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{k}; a_{k} \geq 0; a_{k}

monoton gegen

0 \Rightarrow

Konvergenz

Nachweis soweit in Ordnung, nur
Monotonie müßte für

n \geq 4

noch nachgewiesenm(!) werden.

MfG

freakjan aktiv_icon

22:08 Uhr, 11.07.2009

Hi,

Danke erstmal.

Das habe ich schon verstanden, dass es ein Leibniz-Kriterium ist.

Aber warum man den ersten Teil weglässt, verstehe ich nicht?!
Das ist doch quasi

{(- 1)}^{a \cdot k}

und

a = 1

sein soll oder nicht?

Gruß
Jan

pepe1 aktiv_icon

13:21 Uhr, 13.07.2009

Habe den "verschwundenen" Beitrag erst jetzt gefunden, sonst hätte ich schon eher geantwortet.

Leibniz-Kriterium:

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{k}; a_{k} \geq 0; a_{k}

monoton gegen

0 \Rightarrow

Konvergenz

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{k} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - ... . \pm ...

a_{k} \geq 0

{(- 1)}^{k} = 1; - 1; + 1 : - 1; ...

{(- 1)}^{k}

bewirkt den Vorzeichenwechsel in der Leibniz-Reihe

| {(- 1)}^{k} \cdot a_{k} | = a_{k}

Zu....Aber warum man den ersten Teil weglässt, verstehe ich nicht?!...

Beim Leibnitzkriterium muß folgendes beachtet werden:

1 .)

alternierende Glieder

\to {(- 1)}^{k} ... (+ - + - + - ... .)

2 .) | {(- 1)}^{k} \cdot a_{k} | = a_{k}

monoton gegen 0
(also nur die

a_{k}

"ohne Vorzeichen

{(- 1)}^{k}

\to 0

monoton)

\Rightarrow

Konvergenz

Noch Fragen?

MfG

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