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Leibnizkriterium (Konvergenzkriterien)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

io123 aktiv_icon

06:15 Uhr, 14.12.2021

Hallo, eine kurze Frage zum Leibnizkriterium:

wir hatten es so gelernt, dass für das Leibnizkriterium folgende ''Voraussetzungen'' erfüllt sein müssen (Leibnizkriterium nutzen wir für eine Reihe, die ein

{(- 1)}^{k}

als Faktor stehen hat)

1. Folge muss monoton fallend sein

a_{k} \geq a_{k + 1}

2. Folge muss eine Nullfolge sein

lim_{k \to 00} a_{k} = 0

Wenn nun eines dieser beiden Voraussetzungen nicht erfüllt ist, kann ich dann direkt sagen, dass meine alternierende Reihe divergent ist?

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

07:51 Uhr, 14.12.2021

Hallo,

> Wenn nun eines dieser beiden Voraussetzungen nicht erfüllt ist, kann ich dann direkt sagen, dass meine alternierende Reihe
> divergent ist?

Ich würde "nein" sagen.

Nimm eine Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

, die die Leibnizkriterien erfüllt und schiebe immer mal wieder 2 Nullen ein, etwa:

b_{n} := {\begin{aligned} 0, & n = 2^{k} \lor n = 2^{k} + 1 für k \in ℕ \\ a_{n}, & sonst \end{aligned}

Ich wäre doch ziemlich sicher, dass auch diese Reihe konvergiert, obwohl die Monotonie verletzt ist (sofern

(a_{n})_{n \in ℕ}

nicht konstant Null ist).

Ich habe hier jetzt ersetzt. Vielleicht ist ein entsprechendes Einschieben in der Hinsicht Konvergenz der Reihe besser, aber hier nicht eben so leicht zu formalisieren. (Zumindest für mich und so früh.)

Mfg Michael

N8eule

09:58 Uhr, 14.12.2021

Wenn ich ergänzen dürfte...:
Wir ahnen ja, dass du das Richtige meinst. Aber - du drückst dich falsch aus.
1. Folge muss monoton fallend sein
"

a_{k} \geq a_{k + 1}

"
Ich will ahnen, dass du doch sicherlich meinen und ausdrücken wolltest:

| a_{k} | \geq | a_{k + 1} |

und um das Gesagte nochmals in meine Worte zu fassen:
Bei (Wenn

\to

dann) Aussagen gilt stets, dass man nicht automatisch folgern darf:
(Wenn_nicht

\to

dann_nicht)

HAL9000

10:56 Uhr, 14.12.2021

@N8eule

Nun, io123 hat nirgendwo genau gesagt, über welche Reihe er spricht, ob über

\sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k} a_{k}

mit nichtnegativen

a_{k}

oder über

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

mit alternierenden Vorzeichen bei den

a_{k}

. Gemäß 1. sollte man annehmen, dass er ersteres meint, aber wer weiß...

Es ist in wie so vielen Threads: Es wird etwas als selbstverständlich vorausgesetzt was nicht selbstverständlich ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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