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Leibniz'sche Regel & Co

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14:58 Uhr, 05.11.2012

Servus @ all,

muss folgendes beweisen:

a)

Leibniz'sche Regel

{(f \cdot g)}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f^{n - k} g^{(k)};

sowie

b)

{(f \cdot g)}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(f^{(k)} g)}^{(n - k)}

(Hinweis zu

b)

für differenzierbare Funktionen

u

und

v

gilt uv'=(uv)'-u'v.

Nun ich bin ziemlich sprachlos und versuche verzweifelt irgendwie an die Aufgabe heranzugehen, um sie zu lösen. (muss ehrlich sagen gelingt mir nur mangelhaft)

thanks for help

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:07 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

schreit nach vollständiger Induktion!

BTW: Sicher, dass b) korrekt abgetippt ist?

Mfg Michael

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15:22 Uhr, 05.11.2012

ups ja die Klammer am Anfang hat sich ausversehn eingemoggelt

: (

also es muss

f \cdot g^{(n)} = . .

. heißen bei der

b)

f \cdot g^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(f^{(k)} g)}^{(n - k)}

Schreit nach vollständiger Induktion für

a & b

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15:46 Uhr, 05.11.2012

a)

Induktionsanfang für

n = 0

{(f \cdot g)}^{0} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) {(f^{(0)} g)}^{(0 - 0)}

{(f \cdot g)}^{0} = 1

und

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = 1

und

{(f^{(0)} g)}^{(0 - 0)} = 1

\to \sum_{k = 0}^{n} 1 \cdot 1 = 1

1 = 1

michaL aktiv_icon

16:00 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

hm,

n = 0

, hast du das überall eingesetzt für den Induktionsanfang oder vielleicht irgendwo nur stillschweigend?

Ansonsten sieht der schon ganz gut aus (sollte aber auch jeder Student hinbekommen, der mit Mathe zu tun hat).
Jetzt musst du nur noch an den Induktionsschritt 'ran.

Übrigens: du kannst dich nahezu 1:1 am Beweis für den binomischen Lehrsatz orientieren, der funktioniert doch recht ähnlich!

Mfg Michael

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16:03 Uhr, 05.11.2012

Aber es ist doch richtig eingesetzt, oder nicht? Habe nichts stillschweigend eingesetzt sondern mit bisschen Überlegung dahinter:-) Ist das denn falsch, dass ich für

k

auch Null einsetze?

michaL aktiv_icon

16:22 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

nun, in der Summe

\sum_{k = 0}^{n} \dots

, da müsstest du noch für

n

die Null einsetzen.
Und: ja, für

k

musst du alle Werte zwischen 0 und

n

einsetzen. Glücklicherweise ist ja beim Induktionsanfang

n = 0

, sodass

k

nur Werte zwischen 0 und

n = 0

annehmen kann, da bleiben nicht so viele. ;-)
Aber: stillschweigend hast du das eingesetzt, das

n = 0

.

Nun "nur" noch den Induktionsschritt.

Mfg Michael

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16:29 Uhr, 05.11.2012

:-D) genau "nur" ist gut

unsere Annahme ist dann:

{(f \cdot g)}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f^{(n - k)} g^{(k)}

Behauptung: für

n \to n + 1

{(f \cdot g)}^{(n + 1)} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)}

und nun zum Beweis:

jetzt müsste man die Annahme verwenden, aber das verstehe ich nicht wie ich da anwenden soll

: (

{(f \cdot g)}^{(n + 1)} = (f \cdot g) {(f \cdot g)}^{n}

so kann man das auch umschreiben

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16:43 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

na, ja, Mir ist schon klar, dass der Induktionsschluss schwierig ist.

Ok, die Induktionsannahme ist korrekt.
Der Anfang (bei dir ziemlich am Ende) ist leider falsch!
Verstehst du, was unter dem geklammerten Exponenten zu verstehen ist?

{(f g)}^{(n + 1)} = (f g) {(f g)}^{(n)}

ist jedenfalls nicht richtig!

Hast du denn einen Beweis für den binomischen Lehrsatz (und den Lehrsatz selbst am besten auch gleich) mal angeschaut? Da kann man sich was abschauen?

Mfg Michael

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16:48 Uhr, 05.11.2012

Ja den habe ich mir angeguckt. Daher hab ich auch das

+

und

\cdot

übersehen, aber den nächsten Schritt kann ich irgendwie nicht packen.

michaL aktiv_icon

16:53 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

keine Panik!

Zuerst einmal brauchen wir einen Zusammenhang zwischen

{(f g)}^{(n)}

und

{(f g)}^{(n + 1)}

.

Denke bitte darüber nach. Sonst kommen wir nicht weiter!

Mfg MIchael

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16:57 Uhr, 05.11.2012

Den Zusammenhang zwischen

{(f g)}^{(n)}

und

{(f g)}^{(n + 1)}

Es wird ein Folgeglied

n + 1

für das

n

eingesetzt und die Aussage muss stimmen, da wir im Induktionsanfang dies gezeigt haben, dass es stimmen muss. Nun das ich aber nicht die Antwort auf deine Frage.

michaL aktiv_icon

17:00 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

hm, wir verstehen uns nicht richtig...

Was bedeutet denn der Term

{(f g)}^{(n)}

?
Und was bedeutet der Term

{(f g)}^{(n + 1)}

?

Und durch welche Operation kommt man vom ersten zum zweiten?
(Ohne eine Rekursionsgleichung, kann man so schlecht die Induktionsvoraussetzung anwenden!)

Mfg Michael

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17:03 Uhr, 05.11.2012

Da muss ich ehrlich sein und sagen, dass ich es nicht weiß.

michaL aktiv_icon

17:08 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

schau dich doch mal in deinen Unterlagen schlau.
Google doch mal nach Leibniz-Regel.

Darf auch gern länger als 3 Minuten dauern, schaue regelmäßig mal hier rein.

Mfg Michael

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17:10 Uhr, 05.11.2012

Ich schau mich um ehrlich gesagt den ganzen Tag, anstatt schlau eher dumm. Aber recht herzlichen Dank für die Tipps.

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20:41 Uhr, 05.11.2012

zu dem Hinweis:

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

(f \cdot g)'' = f'' \cdot g + 2 f' \cdot g' + f \cdot g''

{(f \cdot g)}^{(3)} = f^{(3)} \cdot g + 3 f^{2} \cdot g' + g^{(2)} + g^{(3)}

Dies erinnert an die Binomische Formel.. (so viel zum Thema Hinweis)
Der Beweis des binomischen Lehrsatzes ähnelt ja unserem bzw. meinem Beispiel hier, jedoch sind mir einige Schritte unschlüssig. Das Vorgehensschemata verstehe ich ja nur kann es nicht ausführen.

@ MichaL
weiß immer noch nicht wie ich von

{(f \cdot g)}^{(n)}

f \cdot {g)}^{(n + 1)}

komme und wie ich dann weitere fortfahre..

michaL aktiv_icon

21:52 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

mir hätte ja schon gereicht, wenn du mir geschrieben hättest, dass

(f g)^{(n)}

die

n

-te Ableitung ist von

f g

.
Um zur

(n + 1)

-ten Ableitung zu kommen, muss man doch also nur nochmal(!) ableiten.

Die gesuchte GLeichung zwischen

(f g)^{(n)}

und

(f g)^{(n + 1)}

ist also:

(f g)^{(n + 1)} = ((f g)^{(n)}) ʹ

Übrigens: mein Tipp mit der Suchmaschine war eigentlich extrem gut.
Google: "leibniz regel" -> 4. Treffer ist ein pdf, in dem ein passender Beweis vorhanden ist.

Ihr habt heute so viel mehr Möglichkeiten als wir. Nutz die doch (mal und selbstständig).

Mfg Michael

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21:57 Uhr, 05.11.2012

Nur ob ich in der Klausur google fragen kann? Zweifelhaft... Außerdem will ich das System der vollständigen Induktion verstehen Schritt für Schritt und da hilft mir auch keine Musterlösung, wenn ich irgendwelche Schritte nicht verstehe..

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21:57 Uhr, 05.11.2012

z . B

. verstehe ich die Anwendung des Binomialkoeffizienten nicht..

michaL aktiv_icon

22:01 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

hm, sehr verständlich.

Dann verwende die Rekursionsgleichung, um beim Induktionsschritt auf die Induktionsannahme zurückgreifen zu können.

Fang doch einfach mal an.

Mfg Michael

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22:45 Uhr, 05.11.2012

Ich komme einfach nicht dahinter, trotz Musterlösung nicht wieso diese Schritte richtig sind

{(f g)}^{(n + 1)} = D ({(f g)}^{(n)}) = D (\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f^{(k)} g^{(n - k)}) = (\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + f^{(k)} g^{(n + 1 - k)}

was bedeutet denn dieses

D

? die Induktionsvoraussetzung wird nach dem zweiten = eingesetzt wie? Ist mir nicht einleuchtend..

michaL aktiv_icon

09:04 Uhr, 06.11.2012

Hallo,

D (\dots)

soll der Differentialoperator sein.

Beachte die (schon nur äußerst schwierig erhaltene) Rekursionsgleichung!

Mfg Michael

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16:50 Uhr, 06.11.2012

Hilfreich waere wirklich eine Veranschaulichung.. Ja Rekursionsgleichung...

michaL aktiv_icon

19:00 Uhr, 06.11.2012

Hallo,

ähm, jetzt weiß ich nicht mehr weiter...

Du bist mit einer Musterlösung nicht zufrieden.
Du kannst aber (offenbar) auch mit Unterstützung keine Lösung selbst erarbeiten.

Was geht denn noch?

Mfg Michael

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08:38 Uhr, 07.11.2012

Man kann auch sagen Mann hatte keine Lust mehr zu helfen...

michaL aktiv_icon

09:31 Uhr, 07.11.2012

Hallo,

das entspräche aber nicht der Wahrheit.
Ich hab nur keinen blassen Schimmer, wie eine Hilfe (noch) aussehen könnte.

Jetzt du wieder.

Mfg Michael

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02:36 Uhr, 09.11.2012

zum Aufgabenteil

b)

f \cdot g^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(f^{(k)} g)}^{(n - k)}

mit der Induktion beschäftige ich mich schon seit gut einer Woche den Teil

a)

hab ich soweit herausbekommen. Nun hackt's bei Teil

b)

schon am Induktionsanfang.

Ich setze im IA:n=0 (oder kann ich auch

n = 1

setzen??? aber der kleinste bzw. niedrigste Laufindex ist hier

k = 0

also sollte man schon auch Null einsetzen oder?)

\to f \cdot g^{(0)} = {(- 1)}^{0} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) {(f^{(0)} g)}^{(0 - 0)}

g^{(0)} = 1

und

1 \cdot f

ist

f

- 1^{0} = - 1

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = 1

f^{(0)} = 1

und

1 \cdot g

ist

g \to g^{(0 - 0)} = 1

somit bekomme ich keine wahre Aussage heraus

f \cdot 1 = - 1 \cdot 1 \cdot 1

was falsch ist

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08:00 Uhr, 09.11.2012

(fg)'=(fg)'-f'g

somit wäre dann für die linke Seite der Gleichung gelten:

{(f g)}^{(n)} - f^{(n)} g

richtig?

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08:00 Uhr, 09.11.2012

(fg)'=(fg)'-f'g

somit wäre dann für die linke Seite der Gleichung gelten:

{(f g)}^{(n)} - f^{(n)} g

richtig?

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08:38 Uhr, 09.11.2012

Bei mir kommt immer nur mist raus

: (

sprich mit dem Hinweis kommt leider auch keine wahre Aussage heraus.

michaL aktiv_icon

11:48 Uhr, 09.11.2012

Hallo,

um den Induktionsschritt vernünftig hinzukriegen, verwendet man eine Möglichkeit, das (oder ein) vorheriges Element zu bekommen.
In deinem Fall:

(f g)^{(n + 1)} = ((f g)^{(n)}) ʹ \overset{IV}{=} (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k)}) ʹ

So, du musst also diese Summe ableiten.

Das wird (nachdem, wie es bisher lief) vermutlich zu viel für dich sein. Lass dich davon aber nicht entmutigen. Konzentriere dich zunächst mal auf einen Summanden und leite den korrekt ab. Wenn du das hast, dann frag dich mal umgekehrt, welche Summanden zu dem gesuchten

f^{((n + 1) - k)} g^{k}

beitragen.
Dann konzentriere dich auf diese!

Mfg Michael

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11:54 Uhr, 09.11.2012

Ich braeuchte Hilfe bei der

b)

die a ist Schnee von gestern.. konkret beim Induktionsanfang,

michaL aktiv_icon

12:17 Uhr, 09.11.2012

Hallo,

sorry, das war nicht so eben wahrzunehmen.

Du hast immer noch ein Riesenproblem damit, die Klammern um die Exponenten richtig zu verstehen.

g^{(} 0)

ist was anderes als

g^{0}

g^{0}

kann man als die Konstante Funktion

x \mapsto 1

verstehen (insbesondere, wenn man

0^{0} := 1

definiert. Aber bei den Klammern handelt es sich (noch immer!) um die jeweilige Ableitung.
Und was für eine Funktion erhält man, wenn man

g

nullmal ableitet?

Mfg Michael

CarlaColumna aktiv_icon

12:36 Uhr, 09.11.2012

Nein das verstehe ich mittlerweile..

f \cdot g' = \sum_{k = 0}^{1} {(- 1)}^{k} (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix}) {(f^{k} g)}^{1 - k}

= (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(f g)}^{1} - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) {(f^{1} g)}^{0}

= (f g)' - f' g

= f \cdot g'

so nach gefuehlten 7 Stunden

= (

So jetzt IS...

jetzt setze ich

n \to n + 1

ein

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