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Leibnizsches Konvergenzkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

Prima5 aktiv_icon

19:40 Uhr, 11.12.2010

Hallo, ich habe eine dringende Frage zu diesem Thema, weil ich total am verzweifeln bin.

Sei (an) mit n€N eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die unendliche alternierende Reihe: Summe (n=0-unendlich)

{(- 1)}^{n} \cdot a (n)

so okay. dann nehmen ich als

a (n)

die harmonische Reihe:

a (n) = \frac{1}{n}

.

Die ist monoton fallend und eine reelle nullfolge. somit muss die unendliche alternierende harmonische reihe konvergieren.

die alternierende harmonische reihe demnach ja:

Summe

(n = 0 -

unendlich)

{(- 1)}^{n} \cdot (\frac{1}{n})

Das würde ich verstehen. Weil es ja so schlicht nach der Def einer unendlich alternierenden Reihe ist.

Jetzt lese ich aber überall was anderes für die alternierende Reihe:

Im Buch steht:

Summe(

n = 1

bis unendlich)

{(- 1)}^{n + 1} \cdot a (n) = ln 2

im skript steht:

Summe

(n = 1

bis unedlich)

{(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{1}{n} = ln 2

Wieso kommt jetzt im Exponeten das Plus hin?
Und wieso steht im Exponenten einmal

- 1

und einmal

+ 1!

Das kann doch nicht das gleiche sein?

Kann mir bitte jemand helfen?!

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:44 Uhr, 11.12.2010

Hallo,

erstelle eine Tabelle (egal, wie lang) mit drei Spalten. In der ersten

n

, die zweite

(- 1)^{n - 1}

und in der dritten

(- 1)^{n + 1}

.

Wenn du das hinter dir hast, dann kannst du wahrscheinlich auf deine Frage selbst antworten.

Mfg Michael

Prima5 aktiv_icon

19:46 Uhr, 11.12.2010

ja das bleibt gleich. aber wieso überhaupt das

n + 1

oder

n - 1

?

die def einer harmonischen reihe sagt doch:

{(- 1)}^{n} \cdot a (n)

michaL aktiv_icon

20:30 Uhr, 11.12.2010

Hallo,

ja, das bleibt gleich. Sollte auch klar sein, da

(- 1)^{n + 1} = (- 1)^{n - 1} \cdot (- 1)^{2} = (- 1)^{n - 1}

.

Die harmonische Reihe ist übrigens die:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots

.
Die alternierende harmonische Reihe ist üblicherweise:

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \mp \dots

. Und dafür schreibt man halt entweder

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n}

oder

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n}

(andere Schreibweisen sind natürlich auch möglich).

Mfg Michael

Nachweis:
http//de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Reihe

Prima5 aktiv_icon

21:00 Uhr, 11.12.2010

ja das ist mir klar. leider weiß ich nun immer noch nicht mehr. weil wenn ich die def:

Summe

n = 0

bis unendlich

{(- 1)}^{n} \cdot a (n)

nehme, kommt ja nicht ursprünglichen werte für die reihenglieder heraus.

sondern

= 0 - 1 + \frac{1}{2} . .

michaL aktiv_icon

21:36 Uhr, 11.12.2010

Hallo,

ich habe jetzt zwei Antworten gegeben, die dir offebar alle klar waren/sind. Ich verstehe schlicht nicht, was du eigentlich willst.
Nur eines weiß ich: in der alternierenden harmonischen Reihe kommt der Summand 0 (Null) nicht vor. Kein

n \in ℕ

liefert

\frac{1}{n} = 0

. Also läuft da (vermutlich bei dir) ne Menge durcheinander. Sortier doch mal, dann machen wir weiter!

Mfg Michael

Prima5 aktiv_icon

22:13 Uhr, 11.12.2010

mh wir reden aneinander vorbei. weiß auch nicht wie ich das sonst erklären soll!

wie gesagt, nach der def Summe

n = 0

bis unendlich

{(- 1)}^{n} \cdot a (n)

kommen nicht die ursprünglichen Reihenglieder heraus.

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