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Leiter an der Hauswand

Schüler

Tags: Geschwindigkeit

stinlein aktiv_icon

08:54 Uhr, 05.02.2018

Die Aufgabe lautet:
Eine

5 m

lange Leiter lehnt an einer Hauswand. Jemand zieht das untere Ende der Leiter mit einer Geschwindigkeit von

3 \frac{m}{s}

längs des Bodens weg. (Zum Zeitpunkt

t = 0

sei

x = 0)

a)

Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt

t

die Höhe

y (t)

des oberen Endes der Leiter zuordnet!

b)

Wie schnell sinkt das obere Ende der Leiter längs der Hausmauer, wenn das untere Ende von dieser gerade

3 m

entfernt ist?

Ich bitte um Hilfe, komme alleine nicht zurecht. Danke euch schon im Voraus für eure Unterstützung.

Ich hätte einmal so begonnen:

v = 3 \frac{m}{s}

Ich bezeichne die Höhe des rechtw. Dreiecks als

y,

die Grundseite (Boden) als

x = 3 \cdot t

und die Länge der Leiter

c = 5

.
Pythagoras anwenden:

y (t) = \sqrt{25 - 9 \cdot t^{2}}

uzw. für alle

t

größer, gleich Null bzw. kleiner, gleich

\frac{5}{3}

Ich hätte nun

y'

gebildet:

y = \sqrt{25 - 9 \cdot t^{2}}

y' = - \frac{9 t}{\sqrt{25 - 9 t^{2}}}

3 = - \frac{9}{\sqrt{25 - 9 t^{2}}}

und nach

t

auflösen!

Ich weiß, da bin ich einem Irrtum unterlaufen, aber welchem?

Komme aber so nicht ans gewünschte Ziel.
Das Ergebnis sollte lauten:

2,25 \frac{m}{s}

Vielen lieben Dank für eure Hilfe im Voraus!
lg stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

09:44 Uhr, 05.02.2018

Sowohl

x

als auch

y

sind von der Zeit

t

abhängig, bezeichne sie daher mit

x (t)

und

y (t)

.
Die jeweiligen Geschwindigkeiten sind dann die Ableitungen des Weges nach der Zeit, also

v_{x} = x^{'} (t)

und

v_{y} = y^{'} (t)

Es gilt

: {[x (t)]}^{2} + {[y (t)]}^{2} = 25

Differenzieren ergibt

2 \cdot x (t) \cdot x^{'} (t) + 2 \cdot y (t) \cdot y^{'} (t) = 0 \Rightarrow y^{'} (t) = - \frac{2 \cdot x (t) \cdot x^{'} (t)}{2 \cdot y (t)}

Wegen des PL ist aber

y (t) = \sqrt{25 - {[x (t)]}^{2}}

\Rightarrow

y^{'} (t) = - \frac{2 \cdot x (t) \cdot x^{'} (t)}{2 \cdot \sqrt{25 - {[x (t)]}^{2}}} = v_{y}

Setzt man nun die Zahlen ein, so ergibt das:

v_{y} = (-) \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{25 - 3^{2}}} = \frac{9}{4} = 2,25

stinlein aktiv_icon

11:13 Uhr, 05.02.2018

Vielen lieben Dank, respon. Du hast mir ganz toll geholfen, dafür verdienst du das Lob des Tages. Ich komme heute erst um

14.00

Uhr nach Hause und werde mich dann an die Problemlösung (deine Lösung) machen. Sei inzwischen ganz herzlich gegrüßt. Melde mich sofort, wenn ich zur richtigen Lösung gekommen bin. DANKE!!!!
lg stinlein

Roman-22

14:02 Uhr, 05.02.2018

>

Ich weiß, da bin ich einem Irrtum unterlaufen, aber welchem?
Naja, im Grunde hast du alles richtig gemacht und dann aber die Früchte deiner Arbeit nicht geerntet. Ich schätze es allerdings als wichtig ein, die Einheiten immer mit zu nehmen.

Du hast

x (t) = 3 \frac{m}{s} \cdot t

und mit

y (t) = \sqrt{25 m^{2} - 9 \frac{m^{2}}{s^{2}} t^{2}}

Aufgabe

a)

bereits gelöst.

Mit

y' (t) = \frac{d y (t)}{d t} = \frac{- 9 \frac{m^{2}}{s^{2}} t}{\sqrt{25 m^{2} - 9 \frac{m^{2}}{s^{2}} t^{2}}}

hast du die Geschwindigkeit des oberen Leiterendes auch richtig ermittelt.

Wann ist nun das untere Leiterende

3 m

von der Mauer entfernt? Dazu musst du die schwierige Gleichung

x (t) = 3 m

nach

t

auflösen ;-)
Also

3 \frac{m}{s} \cdot t = 3 m \Rightarrow t = 1 s

.

An der Stelle hast du nun den Fehler gemacht, denn du wolltest offenbar

y' (t) = 3 \frac{m}{s}

nach

t

lösen. Man sieht, die Einheiten sind wichtig. Mit

y' (t) = 3 m

wäre dir vielleicht aufgefallen, dass da die Einheiten nicht passen. Aber uns interessiert doch gar nicht, wann das obere Leiterende die Geschwindigkeit

3 \frac{m}{s}

hat. Das wird ja ohnedies nie der Fall sein und auch, dass dieses Leiterende nach ca.

1,18

Sekunden die Geschwindigkeit

- 3 \frac{m}{s}

hat ist nicht gefragt.

Also weiter. Das untere Ende ist also nach genau einer Sekunde 3 Meter von der Wand entfernt und in Aufgabe

b)

ist gefragt, wie schnell das obere Ende zu diesem Zeitpunkt unterwegs ist.
Dann setz doch einfach diese 1 Sekunde in die Geschwindigkeitsfunktion

y' (t)

für das obere Ende ein!

y' (1 s) = . .

= - \frac{9}{4} \frac{m}{s} = - 2,25 \frac{m}{s}

.
Dass hier für die Geschwindigkeit ein negativer Wert rauskommt liegt an der von dir (durchaus sinnvoll) gewählten Orientierung (nach oben positiv).

stinlein aktiv_icon

18:32 Uhr, 05.02.2018

Allerliebsten Dank auch dir Roman-22. Du verdienst auch das Lob des Tages! Sehr lieb von dir, mir das so gut und ausführlich zu erklären. Ich bin heute schon so ausgelaugt, bin eben erst von der Schule heimgekommen, leider nicht früher!
Ich sehe mir das aber genau an und so weit ich sehe, habe ich sicher noch eine Rückfrage.
Z. B. verstehe ich nach einem groben Überblick noch nicht, warum respon für

x' (t)

und

x (t)

jeweils als Zahl die 3 eingesetzt hat.
Ich lasse die Aufgabe noch offen, da ich diese ja selber rechnen muss und dann erst tauchen die Fragen auf.
Allerliebsten Danke euch beiden, IHR seid spitze! DANKE GANZ HERZLICH FÜR DIE VIELE MÜHE!
lg stinlein

Respon

19:37 Uhr, 05.02.2018

x (t)

war bei mir der Abstand des unteren Leiterendes von der Wand, also

3 m

und

x^{'} (t)

die - hier als gleichförmig angenommene - Geschwindigkeit des unteren Leiterendes, als

3 m \ s

stinlein aktiv_icon

09:19 Uhr, 06.02.2018

Vielen lieben Dank für die Hilfe. Wünsche euch weiterhin alles Gute. Freue mich schon jetzt auf den nächsten Treff! Danke dir respon, dass du mir auf diese einfältige Frage doch noch geantwortet hast. Im Nachhinein ist immer alles einfach!
DANKE - DANKE!
lg
stinlein

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