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Lemma von Lax-Milgram

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Bilinearform, Matrix, regulär, reih

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19:21 Uhr, 16.06.2015

Ich muss für eine Latex-Übung einen Beweis abtippen und konnte ihn in unseren Skripten nirgendwo finden...kennt irgendwer vielleicht einen Link (ich konnte leider keinen finden, wo es so bewiesen wird, wie in der Aufgabenstellung gefordet wird) oder kann jemand vielleicht den Beweis aufschreiben?

Hier die Aufgabenstellung:

1. Zu zeigen: Ist

A \in ℝ^{n \times n}

eine Matrix mit

\sum_{j, k = 1}^{n} x_{j} A_{j, k} x_{k} > 0

für alle

x \in ℝ^{n},

so ist A regulär.

2. Das Lemma von Lax-Milgrm in endlich-dimensionalen Räumen: Es sei

X

ein endlich-dimensionaler Vektorraum über

ℝ

mit Basis

{v_{i}, ..., v_{n}}, F : X \to ℝ

linear und

a (v, v) > 0

für alle

v \in X

. Dann gibt es ein eindeutiges

u \in X

mit

a (v, v) = F (v)

für alle

v \in X

. Um dies zu beweisen, macht man den Ansatz

u = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} v_{k}

und zeigt, dass der Koeffizientenvektor

x \in ℝ^{n}

eindeutig existiert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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10:30 Uhr, 17.06.2015

Kann mir niemand helfen? Es ist wichtig und ich bring den Beweis selber nicht zusammen...

DrBoogie aktiv_icon

10:33 Uhr, 17.06.2015

Und was genau musst Du beweisen, 1 oder 2?

2 hast Du übrigens fehlerhaft abgeschrieben, da kann es nicht

a (v, v) = F (v)

stehen.

Poste lieber ein Bild der Originalaufgabe.

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12:16 Uhr, 17.06.2015

Danke für die Antwort! Ich muss beide beweisen.
Hier ist die Angabe:

DrBoogie aktiv_icon

14:18 Uhr, 17.06.2015

11.5

Indirekter Beweis. Sei

A

nicht regulär, dann gibt's einen Vektor

x \neq 0

, so dass

A x = 0

,
also

(\sum A_{1 k} x_{k}, \sum A_{2 k} x_{k}, . . ., \sum A_{n k} x_{k}) = (0, 0, . . ., 0)

.
Dann aber

\sum_{j, k} x_{j} A_{j k} x_{k} = 0

, was ein Widerspruch wäre. Also ist

A

regulär.

11.6

Gesucht ist ein

u

mit

a (u, v) = F (v)

für alle

v

. Schreiben

u

als

u = \sum_{k} x_{k} v_{k}

und

v

als

v = \sum_{k} y_{k} v_{k},

dann ist

a (u, v) = \sum_{j, k} x_{j} a (v_{j}, v_{k}) y_{k}

und

a (v, v) = \sum_{j, k} y_{j} a (v_{j}, v_{k}) y_{k}

. Wegen

a (v, v) > 0

für alle

v \neq 0

sagt uns 11.5, dass die Matrix

A := {a (v_{j}, v_{k})}

regulär ist.
Die Gleichung

a (u, v) = F (v)

lässt sich als

\sum_{j, k} x_{j} a (v_{j}, v_{k}) y_{k} = \sum_{k} y_{k} F (v_{k})

. Weiter versuche selber.

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14:28 Uhr, 18.06.2015

Danke! Ich bin bei

11.5

aber noch etwas verwirrt. Warum muss ein Vekotor

x \neq 0

so existieren, dass Ax=0, falls A nicht regulär ist?

DrBoogie aktiv_icon

21:24 Uhr, 18.06.2015

"Warum muss ein Vekotor x≠0 so existieren, dass Ax=0, falls A nicht regulär ist?"

Lese in Wikipedia, welche äquivalente Definitionen von "A regulär" es gibt.

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