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Lemma von Riesz aber für endliche Dimension...

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: dimension, Funktionalanalysis, MATH, Mathematik, Rieszsches Lemma, Unterraum

anonymous

18:09 Uhr, 17.04.2021

Hallo!

Sei $U \subset X$ ein echter, abgeschlossener Unterraum. Dann:

$\forall 0 < δ < 1 \exists x \in X$ mit $| | x | | = 1,$ sodass $\forall u \in U : | | x - u | | \geq 1 - δ$ .

Das ist das Lemma von Riesz. Hier ein schneller Beweis:

Sei $p \in X \ U$ beliebig. Setzte $d = i n f {| | p - u | | : u \in U}$ . Es gilt $d > 0,$ da $U$ abgeschlossen in $X$ ist. Dann:

$\frac{d}{1 - δ} > d$ . Also gibt es ein $v \in U$ mit $| | p - v | | < \frac{d}{1 - δ}$ . Setzte

$x = \frac{p - v}{| | p - v | |}$ . Dann gilt für beliebiges $u \in U :$

$| | x - u | | = \frac{1}{| | p - v | |} | | p - v - | | p - v | | \cdot u | | := \frac{1}{| | p - v | |} | | p - \bar{u} | | \geq \frac{1 - δ}{d} \cdot d = 1 - δ$
$□$

Jetzt möchte ich zeigen, dass für $dim (U) < \infty$ auch $δ = 0$ funktioniert.

Naja den Beweis einfach kopieren und anpassen:

Sei $p \in X \ U$ beliebig. Setzte $d = i n f {| | p - u | | : u \in U}$ . Es gilt $d > 0,$ da $U$ abgeschlossen in $X$ ist. Es gibt genau ein $v \in U$ mit $| | p - v | | = d$ . Setzte

$x = \frac{p - v}{| | p - v | |}$ . Dann gilt für beliebiges $u \in U :$

$| | x - u | | = \frac{1}{| | p - v | |} | | p - v - | | p - v | | \cdot u | | := \frac{1}{| | p - v | |} | | p - \bar{u} | | \geq \frac{1}{d} \cdot d = 1$

Aber es geht nirgendwo ist mit eingegangen, dass $U$ endliche Dimension hat... Oder geht es in dem Teil mit ein, in welchem ich sage: es gibt genau ein $v \in U$ mit $| | p - v | | = d$ ? Also die Existenz und Eindeutigkeit der Bestapproximation von endlichdimensionalen Teilräumen?

Ich hoffe ihr hab einen Tipp. Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:34 Uhr, 17.04.2021

"Oder geht es in dem Teil mit ein, in welchem ich sage: es gibt genau ein $v \in U$ mit $∣ ∣ p - v ∣ ∣ = d$ ?"

Nun, die Aussage stimmt nicht unbedingt, wenn $U$ nicht endlich-dimensional ist.
Und auch für einen endlich-dimensionalen $U$ ist es die Frage, warum sie stimmt. Habt ihr so einen Satz?

anonymous

19:13 Uhr, 17.04.2021

Hallo! Danke für die Antwort!

Also so einen Satz hatten wir nicht. Die Aufgabe ist im Rahmen der Vorlesung Funktionalanalysis. Ich hatte letztes Semester aber Approximationstheorie. Auf die Sätze etc. davon darf ich aber nicht verweisen $: ($ Da hatten wir sowas wie $z . B .,$ falls $S \subset F$ eine Konvexe Teilmenge eines Linearen Raums ist, dann existiert zu jedem $f \in S \ F$ eine Bestapproximation und sowas.

Hier in Funktionalanalysis wurde das Wort Bestapproximation gar nicht erst benutzt. Ich denke aber die ganze Zeit an die Orthogonale Projektion. Dazu müsste ich aber fordern, dass unser Raum $X$ ein Euklidischer raum ist. oder...? Mit dieser Orthogonalen Projektion könnte ich dann begründen, dass für $dim (U) < \infty$ die Bestapproximation eindeutig ist. Was mir die Eindeutigkeit bringt, verstehe ich aber auch nicht... Ich meine hier reicht es doch aus zu sagen, dass es eine gibt. Funktioniert doch trotzdem...

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19:16 Uhr, 17.04.2021

"Dazu müsste ich aber fordern, dass unser Raum X ein Euklidischer raum ist. oder...?"

Ja.

"Was mir die Eindeutigkeit bringt, verstehe ich aber auch nicht... Ich meine hier reicht es doch aus zu sagen, dass es eine gibt. Funktioniert doch trotzdem..."

Was genau funktioniert?
Für mich hast du die Aussage nicht bewiesen.

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19:20 Uhr, 17.04.2021

Ich bin übrigens auch gar nicht sicher, dass die Aussage stimmt.
Also dass man $x$ der Norm $1$ finden kann, so dass $d (x, U) = 1$ gilt.

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19:32 Uhr, 17.04.2021

Doch, die Aussage stimmt, ein Beweis kann hier gefunden werden:
math.stackexchange.com/questions/1313664/rieszs-lemma-for-finite-dimensional-spaces

anonymous

19:36 Uhr, 17.04.2021

Ja das stimmt schon... Mein Problem ist halt, zu verstehen, warum für $dim (U) = \infty$ nicht auch $δ = 0$ funktioniert. Ist es, weil für $δ = 0$ und $d := i n f {| | p - u | | : u \in U},$ dann dort stehen würde:

Also gibt es ein $v \in U$ mit $| | p - v | | = d$ ? Und wir wissen aber gar nicht, ob das Infimum selber in der Menge ${| | p - u | | : u \in U}$ enthalten ist..? Doch wenn wir nun $dim (U) < \infty$ fordern ist aus irgendeinem Grund dieses Infimum in der Menge enthalten und deswegen kann man auch sagen:

Also gibt es ein $v \in U$ mit $| | p - v | | = d$ ?

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19:46 Uhr, 17.04.2021

"Also gibt es ein v∈U mit ||p−v||=d? Und wir wissen aber gar nicht, ob das Infimum selber in der Menge {||p−u||:u∈U} enthalten ist..?"

Ja, Infinum wird allgemein nicht erreicht.

"Doch wenn wir nun dim(U)<∞ fordern ist aus irgendeinem Grund dieses Infimum in der Menge enthalten"

Nein, können wir nicht. Kuck dir den Beweis aus dem Link an. Es geht etwas anders, man muss $p$ durch einen anderen Punkt ersetzen.

anonymous

19:56 Uhr, 17.04.2021

Vielen Dank! So sollte ich es hinbekommen!

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