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Lemniskate

Schüler

Tags: Fläche berechnen

stinlein aktiv_icon

19:14 Uhr, 10.11.2017

Berechne die Fläche, die von nachfolgender geschlossenen Kurve eingeschlossen wird:
LEMNISKATE:

r (φ) = \sqrt{2 \cdot cos (2 \cdot φ)}

Ergenbis sollte sein:

A =

1FE

[- \frac{π}{4}; \frac{Π}{4}]

Wenn ich die Flächenformel

A = \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{4}}^{(\frac{π}{4})} a^{2} \cdot 2 \cdot cos (2 φ) d (φ) =

verwende erhalte ich nach dem Integrieren

a^{2} \cdot {[\frac{sin (2 φ)}{2}]}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 a^{2}

.
1. Frage: Warum steht bei der Lösungsangabe das

a^{2}

nicht dabei?
2. Frage: Woher nehme ich die richtigen Grenzen? Wie komme ich auf

(- \frac{π}{4})

und

(+ \frac{π}{4})

?
Ich hätte als Grenzen 0 und

\frac{p}{4}

gesetzt, so wie es bei den Beispielen im Internet gemacht wird und am Ende mit 4 multipliziert.

Bitte, kann mir das jemand verständlich erklären? Vielen Dank im Voraus!
stinlein

stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:28 Uhr, 11.11.2017

Hallo,

in Deiner Aufgabenstellung,

d . h

. in der Definition von

r (φ),

taucht doch kein a auf. Woher hast Du es in Deiner Rechnung.

Der Definitionsbereich für Deine Parameterdarstellung ist in der Aufgabe festgelegt:

φ \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}] -

oder ist diese Intervallangabe in Deinem Text nur verrutscht. Diesen Bereich musst Du dann auch in der Flächenformel verwenden. Gruß pwm

stinlein aktiv_icon

11:47 Uhr, 11.11.2017

Danke dir für die Rückmeldung. Nein, leider sind die Grenzen bei der Aufgabe nicht angegeben. Die habe ich jetzt aus der Lösung entnommen, damit ich endlich einmal zum richtigen Ergebnis komme. Das a ergibt sich bei mit aus der Flächenformel, die ich so aufgeschrieben habe:

A = \frac{1}{2} \cdot \int a^{2} \cdot 2 cos (2 φ) d φ

Atlantik aktiv_icon

12:06 Uhr, 11.11.2017

de.wikipedia.org/wiki/Lemniskate

Hier ist für die Lemniskate das a mit dabei:

r^{2} (ρ) = 2 a^{2} \cdot cos (ρ)

mfG

Atlantik

stinlein aktiv_icon

12:13 Uhr, 11.11.2017

Ja, lieber Atlantik, das habe ich mir alles ausgedruckt und vor mir liegen. DANKE!
Weißt du, wie ich auf die richtigen Grenzen komme

(\frac{π}{4})

und

(- \frac{π}{4}),

die muss ich ja leider einsetzen, bevor ich mit der Rechnung beginne. Die Rechnung selber scheint jetzt ja zu stimmen, bin mir nur deshalb etwas sicherer, weil ich jetzt

1 a^{2}

erhalten habe.
(Ohne

a^{2}

wäre es ja 1 FE)

Bei allen REchnungen im Internet setzen sie als Grenzen 0 und

\frac{π}{4}

und nicht

(\frac{π}{4})

und

(- \frac{π}{4})

. Da tut mir noch der Kopf weh, hi!
Lieb von dir, dass du dich gemeldet hast. DANKE!
stinlein

Atlantik aktiv_icon

12:21 Uhr, 11.11.2017

Kann es sein, dass in deiner Aufgabe

a = 1

angenommen ist?

Ich schau mir das Ganze nun mal mit der kartesischen Formel an und melde mich dann wieder.

mfG

Atlantik

stinlein aktiv_icon

12:27 Uhr, 11.11.2017

Danke!
Angegeben ist nur: Lemniskate:

r (φ) = \sqrt{2 \cdot cos (2 φ)}

Berechne die Fläche von der geschlossenen Kurve!
Das Bild und die Formel - das habe ich aus dem Internet entnommen. Sollte mir helfen. Auch hier die Grenzen mit 0 und

\frac{π}{4},

deshalb habe ich ja immer mit diesen Grenezen anfänglich gerechnet und kam so immer auf das falsche Ergebnis! Leider!
lg
stinlein

ledum aktiv_icon

13:54 Uhr, 11.11.2017

Hallo
deine Lemniskate ist ja r^2(\phi)=4cos(2(\phi)
wenn

φ = π

wiederholt sich die Lemniskate, da sie aber in 4 gleiche Teile zerfällt rechnet man nur

\frac{1}{4}

der Fläche aus und multipliziert mit

4,

du hast also

4 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{r^{2}}{2} d φ = 4 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \cdot cos (2 (φ) d φ

(dein

a^{2} = 4

ich hab noch mal deine Aufgabe gelesen, du sollst ja nur die Fläche der halben Lemniskate berechnen , geschlossen ist das auch von

- \frac{π}{4}

bis

+ \frac{π}{4},

du hasst also entweder diese Grenzen nehmen oder 2 mal (nicht 4 mal) von 0 bis

\frac{π}{4}

integrieren, das Ergebnis ist dasselbe.
(wegen

cos - x = cos (x)

ist die Kurve spiegelsymmetrisch zur x-Achse)
Gruß ledum

stinlein aktiv_icon

14:24 Uhr, 11.11.2017

Ich bedanke mich ganz herzlich bei dir, ledum, für die Aufklärung. Ich habe es noch nicht ganz verstanden. Aber ich habe heute ja noch genügend Zeit, mich da ein wenig hineinzuknien. Vielen Dank, dass du dich gemeldet hast.
DANKE!
Ich habe jetzt wieder etwas Neuen entdeckt, das hilft mir vielleicht die Grenzen

\frac{π}{4}

und

- \frac{π}{4}

zu verstehen. Siehe Bild!
stinlein

stinlein aktiv_icon

16:05 Uhr, 11.11.2017

Vielen lieben Dank allen Helfern. Ich bin euch echt zu großem Dank verpflichtet! Diese Hilfsbereitschaft erinnert mich schon ein bisschen an Weihnachten. DANKE vielmals!
Auf den Gedanken, dass ich ja nur die Hälfte der Leminate berechnen muss - auf den wäre ich selber nicht gekommen. Aber du hast natürlich recht, hier ist die Kurve ja schon geschlossen, danke dir ganz besonders, ledum. Aus diesem Grunde bekam ich ja immer

2 a^{2}

heraus!
lg
stinlein

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