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Lemniskate - Ableitung - Tangenten

Universität / Fachhochschule

Tags: Lemniskate, Polardarstellung, Senkrechte Tangente, Tangent, waagerechte Tangente

Thalassina

02:11 Uhr, 16.05.2015

"Für welche Werte von

φ

ergibt sich für die folgende in Polarkoordinaten dargestellte
Lemniskate ein sinnvoller Abstand

r

vom Ursprung? Bestimmen Sie ihre waagerechten
und senkrechten Tangenten

r = \sqrt{cos (2 φ)}

und skizzieren Sie den Kurvenverlauf."

Ich weiß, dass ich die Ableitung bilden muss. Dazu habe ich die Polarform erst in Parameterform umgewandelt:

x = \sqrt{cos (2 φ)} \cdot cos (φ)

y = \sqrt{cos (2 φ)} \cdot sin (φ)

Dann habe ich

x

und

y

einzeln abgeleitet:
(nach Ketten- und Produktregel)

x' = (cos (2 φ)) (- sin (2 φ)) \cdot (cos (x)) - sin (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}

y' = (cos (2 φ)) (- sin (2 φ)) \cdot (sin (x)) + cos (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}

Und dann muss man ja die beiden einzelnen Ableitungen für die komplette Ableitung so einsetzen:

y' = \frac{d y}{d x} = \frac{(cos (2 φ)) (- sin (2 φ)) \cdot (sin (x)) + cos (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}}{(cos (2 φ)) (- sin (2 φ)) \cdot (cos (x)) - sin (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}}

Mein Probelem ist jetzt, dass im Buch als Ergebnis für die Ableitung was anderes angegeben ist, nämlich:

y' = \frac{sin (φ) \cdot sin (2 φ) - cos (φ) \cdot cos (2 φ)}{cos (φ) \cdot sin (2 φ) + sin (φ) \cdot cos (2 φ)}

Bin ich gerade zu dämlich meine Ableitung so umzuformen, dass sie diese Form ergibt oder ist sie einfach falsch?

Dann zu den Tangenten:
Da muss ich für die waagerechten Tangenten den Zähler der Ableitung 0 setzten und für die senkrechten Tangenten den Nenner der Ableitung 0 setzen, oder?

Dann zum Zeichnen, ich weiß, dass eine Lemniskate so eine Schleife ist, also so aussieht, wie ein Unendlichzeichen. Da würde ich mir dann einfach eine Tabelle machen mit

15

Grad Schritten oder

30

Grad Schritten und eben dem Ergebnis, wenn ich die Gradzahl in die Polarform einsetzte und dann kann ich das ja zeichnen.

Wie ich rausfinden soll, welche Were von

φ

einen sinnvollen Abstand

r

vom Ursprung haben, weiß ich nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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11:27 Uhr, 16.05.2015

Hallo,

schau dir deine Ableitungen nochmal genauer an. Wenn du eine Wurzel ableitest, dann muss da im Nenner eine Wurzel auftauchen. Wenn da in der Gleichung neben

x'

noch ein

x

auftaucht, dann hast du eine DIFFERENTIALGLEICHUNG!

x' = ... \cdot cos (x) . .

. Übrigens gibt es nun 7 neue Lemniskaten, zu sehen auf meiner Homepage www.soltuuli.com, die sind wichtig für Windmühlen (etwas Werbung ;-) muss sein). Rama

Thalassina

13:31 Uhr, 16.05.2015

Ok, also, ich habs jetzt nochmal neu gerechnet und hier ist mein Weg...

x = \sqrt{cos (2 φ)} \cdot cos (φ)

u = \sqrt{cos (2 φ)}

u' = \frac{1}{2} {(cos (2 φ))}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- sin (2 φ)) \cdot 2 = - \frac{sin (2 φ)}{\sqrt{cos (2 φ)}}

v = cos (φ)

v' = - sin (φ)

x' (φ) = u' (φ) \cdot v (φ) + v' (φ) \cdot u (φ)

x' (φ) = - \frac{sin (2 φ)}{\sqrt{cos (2 φ)}} \cdot cos (φ) - sin (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}

Dasselbe für

y :

y = \sqrt{cos (2 φ)} \cdot sin (φ)

u = \sqrt{cos (2 φ)}

u' = \frac{1}{2} {(cos (2 φ))}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- sin (2 φ)) \cdot 2 = - \frac{sin (2 φ)}{\sqrt{cos (2 φ)}}

v = sin (φ)

v' = cos (φ)

y' (φ) = u' (φ) \cdot v (φ) + v' (φ) \cdot u (φ)

y' (φ) = - \frac{sin (2 φ)}{\sqrt{cos (2 φ)}} \cdot sin (φ) + cos (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}

Und dann die gesamte Ableitung:

y' = \frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{sin (2 φ)}{\sqrt{cos (2 φ)}} \cdot sin (φ) + cos (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}}{- \frac{sin (2 φ)}{\sqrt{cos (2 φ)}} \cdot cos (φ) - sin (φ) \cdot \sqrt{cos (2 φ)}}

Und jetzt weiß ich nicht, wie ich das weiter vereinfachen kann... oder ob das überhaupt richtig ist...

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14:15 Uhr, 16.05.2015

Ja, da hast du doch schon die Lösung:

wenn da viele Nenner auftauchen, immer mit den Nennern ausmultiplizieren (mal Nenner durch Nenner rechnen).
Also hier einfach mit wurzel(cos(2*phi))/wurzel(cos(2*phi)) multiplizieren, dann kürzen sich die Nenner weg. Rama

Thalassina

14:27 Uhr, 16.05.2015

Hmm... warum bin ich da nicht drauf gekommen... vielen Dank!

Dann noch zu dem:
"Für welche Werte von

φ

ergibt sich für die folgende in Polarkoordinaten dargestellte
Lemniskate ein sinnvoller Abstand

r

vom Ursprung?" (steht auch nochmal im ersten Post)

Soll ich da schauen, für welche Werte von

φ

der Abstand

r

nicht null wird? Wie mach ich das am besten?

r

gleich 0 setzen und damit schauen, welcher Wert schonmal rausfällt?

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14:59 Uhr, 16.05.2015

Hallo,
was ein "sinnvoller" Abstand sein soll, weiß ich jetzt auch nicht. Vielleicht wollen die die Lösungsmenge von r wissen. Sprich: welche Werte r annehmen kann und welche nicht. Dann sind rMin und rMax gesucht.
Aber das schaffst du auch noch!

Das Bild ist übrigens eine Kopelke-Figur. Eine Lemniskate höherer Ordnung, wenn man so will. Wie bei einer Gitarre die Obertöne zur Grundfrequenz. Davon gibt es viele.

Die lassen sich ganz einfach herstellen. Das Problem: wenn ich sie "verrate", verrate ich auch meine Lemnis und damit meine Windmühlen. Und mathematische Formeln sind nicht patentschutzfähig. Und mit den deutschen Juristen habe ich noch ein Hühnchen zu rupfen.

Rama

Thalassina

22:38 Uhr, 16.05.2015

Nochmal danke für deine Hilfe!

Ich habe das mit dem sinnvollen Abstand jetzt so gemacht, dass ich einfach eine Tabelle gemacht habe. Und zwar habe ich in die Polarkoordinaten für

φ

einfach immer in 15° Schritten den Wert für

r

ausgerechnet (siehe Anhang)

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16:59 Uhr, 21.07.2015

Alle Neune!

Dieses Wochenende zwei neue Lemniskaten gefunden.
Nun sind es neun.

Das ist doch was.

Rama

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16:29 Uhr, 08.03.2016

Das Analemma von Vitruv ist gelöst.
Es handelt sich dabei um eine deklinierte Basislemniskate (2.55 Grad).
:-)

Interessiert wahrscheinlich auch wieder niemanden, obwohl die Kepler Ellipsen damit widerlegt sind.

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