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Leslie-Matrix-Aufgaben! Fliegenpopulation
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,
Tags: Fliegenpopulation, Leslie Matrix, Matrix, matriz, Population, Prüfung
 
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Hallo Leute, ich habe mich hier mal im Forum angemeldet, da ich dringend Hilfe benötige. Ich habe hier eine Prüfungsaufgabe die ich leider nicht lösen kann. Ich hoffe jemand von euch kennt sich besser mit dem Thema Matrizen aus, als ich es tue! Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir Tipps geben könntet, wie ich diese Aufgabe lösen kann, ich stehe nämlich total auf dem Schlauch. Anbei ist die Aufgabe als Bilddatei. Danke schonmal :-) Liebe Grüße Maddie  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Maddie, hast Du denn schon mal die Übergangsmatrix für diese Aufgabe aufgestellt? Gruß, Matlog |
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meinst du den Übergangsgraphem? ja das habe ich versucht, jedoch verwirren mich all die Angaben, also komme ich nicht weiter. |
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Übergangsgraph und dann daraus Übergangsmatrix. Es gibt sechs Zustände: Ei, Larve Larve Larve Puppe, Fliege. Wie lange hast Du Zeit für diese Aufgabe? Ich kann mich vielleicht morgen, eher ab Dienstag darum kümmern! |
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Ich hoffe, Du hast schon einmal aus einem Übergangsgraphen eine Übergangsmatrix aufgestellt! In der oben erwähnten Reihenfolge, lese ich aus dem Aufgabentext folgende Matrix heraus: mit noch unbekannten Übergangswahrscheinlichkeiten . |
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ja an der matrix saß ich die ganze zeit, aber so wie du hab ich das noch nie gemacht. und wie kann man diese unbekannten zahlen herausfinden? und was geschieht als nächstes? du hast mir jetzt schon sehr geholfen :-) danke schonmal. |
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ich hab jetzt noch ca 2 wochen dafür zeir. wenn du mir da wirklich richtig helfen könntest wär das klasse! da wäre ich dir sehr dankbar :-) aber stress dich nicht |
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Hallo Maddie, so, jetzt kann´s los gehen! Die sind alles Zahlen zwischen 0 und die Du im Prinzip beliebig wählen kannst. Jedes Mal ergibt sich dann eine etwas veränderte Aufgabe. In der Aufgabenstellung ist von der Entwicklung von mindestens zwei Modellen die Rede. Das verstehe ich als unterschiedliche Wahlmöglichkeiten dieser Zahlen . Diese Zahlen haben einen entscheidenden Einfluss auf das Langzeitverhalten der Population. Wählt man sie groß, dann vermehren sich die Fliegen immer mehr. Wählt man sie klein, sterben die Fliegen langfristig aus. Nur bei einer sehr speziellen Wahl bleibt die Fliegenpopulation stabil. Als Beispiel würde ich Dir empfehlen: Ich kann Dir die Bedingung nennen, unter der die Population stabil bleibt. Dazu könnte ich Dir noch den Grenzwert der Matrix angeben (sogar für beliebige Wahl von . Nur weiß ich jetzt nicht, ob es vielleicht schlauer wäre, wenn Du Dich erst einmal selbst einarbeitest? Wie sieht es mit den Grundlagen aus? Hast Du verstanden, wie die Matrix entstanden ist? Weißt Du, was man damit wie berechnen kann? Beherrschst Du die Technik der Matrizenmultiplikation? Im Forum habe ich noch zwei Beiträge entdeckt, die vielleicht hilfreich sein könnten. Der erste enthält ein einfacheres Beispiel, der zweite verweist auf weitere Informationen. http//www.onlinemathe.de/forum/Fixpunkte-einer-Leslie-Matrix-bestimmen http//www.onlinemathe.de/forum/stabile-Generationen-Verteilung Gruß, Matlog |
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hi matlog, wow danke schonmal. also ja ich habe verstanden, wie die matix gebildet wurde. damit kann ich dann doch mit dem startvektor die nächste population ausrechnen oder? in dem ich sie multipliziere!? das kann ich wenn der starkvektor der hier ist: 0 0 0 0 0 warum kann man sich denn die werte beliebig aussuchen? sowas haben wir in der schule noch nie gemacht. und wie geht es dann weiter, nach der multiplikation? liebe grüße maddie |
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Durch die Wahlmöglichkeiten von in der Matrix hast Du eigentlich unendlich viele verschiedene Aufgaben (und Matrizen). Du kannst Dir jetzt (zunächst) Werte aussuchen und damit eine dieser Aufgaben betrachten. Du kannst natürlich auch den Ehrgeiz haben, die Aufgabe für beliebige zu lösen, also alle möglichen Aufgaben. Wie interpretierst Du denn jetzt die Aufgabenstellung, mindestens zwei Modelle zu entwickeln? Für den Anfang solltest Du mein Beispiel nehmen und mit der Startpopulation die Populationen nach einer, zwei , drei,... Entwicklungsperioden berechnen. |
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also ich finde die idee klingt gut, zwei modelle mit eben 2 unterschiedlichen möglichkeiten durchzurechnen, anders kann ich mir das jetzt auch nicht vorstellen.ist denn der startverktor richtig? wenn er es ist komme ich auf einen neuen vektor : 0 0 0 0 7 das kann doch nciht stimmen oder? wie lange dauert denn eigentlich eine entwicklungsperode? tage? Außerdem verstehe ich nicht, was damit gemeint ist, dass die überlebensrate der erwachsenen fruchtfliegen PRO ENTWICKLUNGSSCHRITT prozent ist, oder auch dass die PRO ENTWICKLUNGSSCHRITT eier legen, wie ist denn das gemeint? |
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Dein berechneter Vektor ist richtig! Was bedeuted er? In I) steht: Ein Entwicklungsschritt umfasse drei Tage. Also nach jeweils drei Tagen tritt eine Veränderung ein, deren Übergang durch die Matrix beschrieben wird. |
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also gibt es nach 3 tagen eier und nur 7 fliegen? kann denn das sein? beim nächsten schritt wären es dann aber doch nur noch eier und fliegen. ist das nciht unlogisch? |
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Unlogisch nur in dem Sinne, dass es keine Fliegen gibt. (Wir wollen ja nicht einer ein Bein ausreißen!) Das ist ein Problem des gesamten Modells. Aber man kann trotzdem einfach weiter rechnen. Nach 2 Perioden sind aber auch noch Larven1 entstanden, oder? |
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ok, dann runde ich auf 5 auf :-) wie sind denn die larven nun entstanden? in meiner rechnung komme ich leider nicht darauf |
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Runden ist keine so gute Idee, zumindest jetzt noch nicht! Hast Du das in der zweiten Zeile der Matrix übersehen? |
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ahhh ja danke :-) hab ich glatt übersehen. gut also kommen pro entwicklungsschritt immer neue larven oder fliegen hinzu. ich verstehe. und wie weit soll ich rechnen? bis ich überall einen wert habe oder noch weiter? |
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Zunächst ist sicher das Ergebnis nach 6 Schritten sehr interessant, weil dann das Ganze einmal "rund gelaufen" ist. Aber dann kannst Du immer weiter rechnen, bis Du merkst, was da passiert. Bei meinen Werten für sollte sich irgendwann nicht mehr viel verändern, . alles wird stabil. Bei größeren Werten für werden die Zahlen in den Vektoren mit der Zeit immer größer und größer, bei kleineren gehen sie gegen Null (Population stirbt aus). |
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super ich glaube bis jetzt habe ich alles verstanden. wie bist du eigentlich auf deine überlebensraten gekommen? Und weißt du zufällig auch, wie genau dieser übergangsgrapf aussehen soll? Und wie ich daran das alles erklären soll? |
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Wie ich darauf gekommen bin, würde ich lieber erklären, wenn Du schon weiter gerechnet hast. Der Übergangsgraph ist nur eine Art der Darstellung (im Vergleich zur Matrix). Du zeichnest die 6 Entwicklungsschritte (nebeneinander oder im Kreis) und verbindest diese mit Pfeilen gemäß ihren Übergangswahrscheinlichkeiten (die man an die Pfeile schreibt). |
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also ich habe jetzt bis schritt 6 gerechnet mein vektor sieht nun so aus: 6 richtig soweit? |
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Die unteren beiden Komponenten sehen gut aus. Aber die oberen vier scheinen mir alle viel zu groß! Da scheint ein systematischer Fehler drin zu sein. Wir nennen mal den Startvektor . Schreibe bitte Deine Ergebnisse für bis . |
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0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 6 |
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und stimmen. Bei sind die erste und dritte Komponente falsch. |
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oh ja den fehler bei der ersten komponente habe ich gefunden, aber wieso ist die 3. falsch? ich rechne da doch: oder nicht? |
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Ja, sorry. Da hab ich mich verrechnet. Dritte Komponente war richtig! |
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okay. also dann würde mein nun so aussehen: 0 0 und 0 und so weiter, sieht das besser aus? |
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Jetzt klappt´s! Erstmal viel Spaß beim Rechnen! |
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danke :-) also ist nun: ich hoffe jetzt stimmt's :-) |
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Stimmt! Versuch ruhig mal weiter zu rechnen. Ein Taschenrechner, der sowas kann, würde die Sache natürlich erleichtern. Ich muss mich jetzt verabschieden. Ich schau mir gegen Uhr Deine Ergebnisse an! |
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ja vielen vielen dank ich werde weiter rechnen. :-) |
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also ich habe jetzt bis gerechnet und folgendes ergebnis: puh, ich hoffe das reicht erstmal!? :-) verrätst du mir nun, wie du auf die werte von gekommen bist? als nächstes würde ich dann zum beispeil einfach bei kleinere werte nehmen, um zu zeigen, dass die population ausstirbt oder? |
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Ich habe das nicht kontrolliert, sieht aber in Ordnung aus. Leider sieht man noch nicht, dass sich nur noch wenig verändert. Ich suche mal eine Seite, wo Du das rechnen lassen kannst. Weißt Du, wie man die Matrix berechnet und was man mit ihr machen kann? |
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nein weiß ich nicht. was kann man denn mit ihr machen? wozu ist sie gut? |
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berechnet man mit Matrixmultiplikation. Das geht wie bei Matrix*Vektor, nur jede Zeile von links jede Spalte von rechts. Dabei entsteht wieder eine Matrix gleicher Größe.Multipliziert man jetzt mit dem Startvektor dann ergibt sich sofort . Entsprechend ergibt . Wir können also den von Dir berechneten Vektor auch anders berechnen: Unser Startvektor ist ja extrem einfach. Wenn man eine beliebige Matrix mit ihm multipliziert, dann entsteht einfach das 10-fache der letzten Spalte dieser Matrix. Der folgende link berechnet . Letzte Spalte mal kannst Du ja im Kopf rechnen: http//www.wolframalpha.com/input/?i=matrixpower%28{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+50}%2C+{0.4%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0.5%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0.5%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0.3%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0.2%2C+0.7}}%2C13%29 Wenn Du oben in der Mitte in den gelb-rot umrandeten Bereich klickst und ganz an das Ende der Zeile gehst, siehst Du die Zahl die Du dann auch beliebig ändern kannst. Später kannst Du auch die Matrix verändern. Probier das mal aus! |
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wenn ich diesen link öffne steht da leider nur: Wolfram|Alpha doesn't know how to interpret your input. aber das mit den matrizen hab ich doch schonmal gehöhrt. das läuft ja auf das gleiche hinaus, wie das was mach quasi per hand ausrechnet oder? |
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was *man quasi per hand ausrechnet |
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Versuch doch mal die kompletten vier Zeilen in Deinen Browser zu kopieren (mit copy+paste). |
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"http//www.wolframalpha.com/input/?i=matrixpower%28{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+50}%2C+{0.4%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0.5%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0.5%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0.3%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0.2%2C+0.7}}%2C13%29" Das hier ohne die Anführungszeichen ins Adressfeld des Browsers. |
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nein das funktioniert leider auch nicht. was muss ich denn auf dieser homepage eingeben, damit ich auf ergebnisse komme? |
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Das klappt hier durch den Formeleditor nicht. Ich hab´s Dir als Nachricht geschickt. Hoffe das klappt. |
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ja super, danke hat geklappt. die nachkommastellen sind etwas anders, aber ansonsten stimmt alles. aber warum ist diese matix so groß? ich habe nur den vektor |
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In der Matrix steckt noch mehr Information drin. Dein Vektor ist ja der Zustand der Fliegenpopulation nach Perioden, wenn Du mit dem ganz speziellen Startvektor beginnst. könntest Du mit jedem beliebigen Startvektor multiplizieren, auch wenn Du das für Deine Aufgabe hier gar nicht brauchst. Wenn Du den Exponenten oder änderst, dann siehst Du deutlich, worauf der Vektor zuläuft und sich dann mit weiter steigendem nicht mehr verändert. Das ist dann die langfristig stabile Fliegenpopulation. |
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achso okay :-) aber was ich immer noch nicht verstehe ist, wie du auf die werte kommst!?? |
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Okay, aber da muss ich noch ein bisschen ausholen. Der stabile Grenzvektor ist Man prüft auch leicht nach, dass . ist eine stabile Verteilung. Man sieht an diesem Vektor sehr schön den Einfluss der Zahlen . 4 Fliegen legen Eier, daraus werden Larven1, Larven2, Larven3, Puppen. Nur ergibt nicht die 4 Fliegen, die den Kreislauf wieder von vorne beginnen lassen würden. Ursache dafür ist die "böse" unten rechts in unserer Matrix. In einer klassischen Leslie-Matrix müsste hier eigentlich eine Null stehen. Fortsetzung folgt... |
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aber woher weiß man denn vorher, was der stabile vektor ist? |
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Beschäftigen wir uns kurz mit der Leslie-Matrix A´, die unten rechts eine Null statt der hat. Hier entstehen aus einer Fliege Eier, daraus Larven1, daraus Larven2, dann Larven3, daraus wieder Puppen und dann wieder Fliegen. Es gibt also genau dann eine stabile Fliegenpopulation, wenn woraus sich ja ein geschlossener Kreislauf ergibt. Unter der Bedingung gilt dann sogar (A´) wobei die Einheitsmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst ist. Nun hat unsere Matrix aber nun einmal diese unten rechts. der Fliegen überleben und produzieren munter weitere Eier. Deshalb müssen pro Entwicklungsperiode nur der Fliegen im Kreislauf reproduziert werden. Eine stabile Population entsteht deshalb nur unter abgeänderten Bedingung . Für die mathematischen Experten: Diese Bedingung sorgt dafür, dass der (größte) Eigenwert der Matrix gleich 1 entsteht. Wenn nun gilt dann vermehren sich die Fliegen ins Unendliche. Bei sterben sie langfristig aus. Das gilt sogar dann, wenn der Unterschied zu nur in einer hinteren Nachkommastelle stattfindet (dann nur entsprechend langsam)! |
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Einen stabilen Vektor kannst Du unabhängig davon immer durch die Lösung des folgenden LGS suchen: Eine vom Nullvektor verschiedene Lösung dieses Gleichungssystems existiert aber nur unter der Bedingung . |
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okay nach 3 mal durchlesen, hab ich das auch verstanden. ist es denn auch möglich die zahlen zu vertauschen, zb so: usw?? |
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Ja, selstverständlich! Auch andere Zahlen kannst Du nehmen, aber eben mit um Stabilität zu erzielen. Das ist übrigens auch völlig unabhängig vom Startvektor. |
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oh super, das ist ja sehr gut zu verstehen :-) dann haben wirs ja bald geschafft :-) nur noch ein paar kleine fragen, wenn du noch ein bisschen geduld übrig hast: die letzten beiden punkte der aufgabe verstehe ich noch nciht ganz. zum einen soll ich dort die fehlenden übergangsraten erklären, ist damit gemeint, wie ich auch meine werte komme? und bei dem letzten punkt: was sind die grenzen des modells und wie mache ich eine aussage über das langzeitverhalten? |
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Wenn Du die Bedingung diskutierst, dann hast Du die Wahl der Übergangswahrscheinlichkeiten sicher genügend erklärt. Das Langzeitverhalten ist ja auch genau das, was wir die ganze Zeit untersucht haben. Grenzen des Modells: Spontan würden mir zwei Dinge einfallen: Das Problem mit den Kommazahlen ist Dir ja schon aufgefallen. Für vermehren sich die Fliegen immer und immer weiter. Irgendwann geht das natürlich rein technisch gar nicht mehr. |
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ohh ja natürlich, bin ich doof :-) stimmt klingt alles logisch. wow super soweit habe ich alles verstanden. ich werde das morgen alles sauber ausarbeiten. ich kann dir gar nicht genug danken, dass du dir so viel zeit genommen hast für mich! wieso machst du das eigentlich? sowas gibt es wirklich selten :-) |
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Du hast Dich nicht nur für die Lösung interessiert, sonder warst immer sehr bemüht alles zu verstehen! Damit ist auch mein Ziel erreicht! |
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vielen vielen dank für alles! so viel geduld hat kaum einer mit mir :-) falls die tage ncoh mal fragen aufkommen, kann ich denn nochmal hier schreiben? ich habe gerade gesehen, dass sie lehrer sind, also entschuldige ich mich, dass ich sie geduzt habe, das wusste ich nicht. aber trotzdem danke sehr, das hat mir wirklich meine prüfung gerettet! |
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Na klar, Du kannst weiter fragen! Das "Du" ist vollkommen okay und hier üblich. Und auch das "Lehrer" setze ich jetzt bewusst in Anführungsstriche. |
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noch eine Frage |
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Hey, ich ins nochmal. also ich habe das ansich alles gut verstanden und soweit aufgeschrieben. ich wollte aber noch einmal nachfragen, wie das mit dieser rechnung: ist. ich habe verstanden, dass man das so rechnen muss, aber nciht genau warum. und ergeben ja 1. warum muss denn nun in der Hauptdiagonale unten eine 1 rauskommen, damit die population stabil bleibt? danke schonmal, Maddie |
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Ja, sehr gut! Deine Frage trifft den mathematisch entscheidenden Punkt. Leider steckt da aber die Theorie der Eigenwerte einer Matrix dahinter, die in der Schule nicht behandelt wird. Der betragsmäßig größte Eigenwert einer Übergangsmatrix bestimmt das Langzeitverhalten. Die Bedingung sorgt für den Eigenwert 1. Eigenwert 1 bedeuted, dass die Gleichung (außer noch weitere) Lösungen hat. Und dies ist ja gerade die Bedingung für eine stabile Verteilung. Diese Berechnung der Eigenwerte kann von Dir aber niemand ernsthaft erwarten. Deshalb habe ich versucht, das anschaulich zu erklären (siehe . Uhr). Wenn in der Matrix unten rechts die Null steht, ist die Bedingung durch die Berechnung von sofort einsichtig. Dann werden der Fliegen durch den Kreislauf wieder ersetzt. Wenn aber in jedem Entwicklungsschritt der Fliegen überleben, müssen in jedem Entwicklungsschritt quasi nur durch den Kreislauf ersetzt werden. Das ist jetzt keine streng mathematische Erklärung, aber doch sehr anschaulich, wie ich finde. |
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ahh jaa super, vielen dank, das hat mir die ganze zeit sorgen bereitet, jetzt ist es klar! aber warum genau muss da mit den eiern multipliziert werden? |
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Weil 1 Fliege Eier legt. Der Zyklus soll von 1 Fliege Fliegen wieder ersetzen. 1 Fliege legt Eier, ergibt Larven1,...,50*a*b*c*d Puppen und wieder neue Fliegen. |
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ah ja natürlich :-) okay jetzt hab ichs wirklich, danke nochmal, ohne dich wäre ich total aufgeschmissen :-) |
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Gu. Tag! Ich wollt mich ja viel früher einschalten, nur waren d. Umstände (Arbeit, Hardware) dagegen ;-( Ich hab auch überlegt, ob ein eig. Thema nicht passender wäre, aber dann hätte man dort vieles wiederholen müssen... Also, mathem. scheint(?) alles klar zu sein, ein Kommentar u/o. Frage sei dennoch erlaubt, in 1. Linie an uns. geduld. Lehrer "matlog". a) Ein (prog.barer) TR mit Matrizenrech. ist m.M. nicht nur besser, sond. unbedingt nötig, denn: Eine m*m Matrixmult. erfordert Multipl. u. ebensoviel Addit. Mit m=6 wie hier sind das insges. 432 Operationen, bei sogar 5184! "zu Fuß" ist das abs. unzumutbar, d.schule ist ja schließl. kein Arbeitslager, oder?! b) Immer wieder spannend ist, wie sich Lehrpl über Zeit & Ort ändern. Ich hab Abitur/Matura v. 40 J. in München gemacht, da hatten wir zwar Eigenw. (übr. enes d. wenigen dt. Fremdw. in Englisch!), aber keine L.-Matrizen; Wachstum war da auf Zinseszins u. radiokt. Zerfall u.ä. beschränkt... c) Ich lese & löse d. Aufg. daher anders: Jede Entwickl.phase dauert 3 Tage, d. geamte Generat.wechsel also T=15 d. In jeder Phase gehen 30% ein, d. Reprod.faktor betraegt also q= . Jede Fliege legt pro Phase 50 Eier, d. Startwert f.d. 2.Generation ist also N0=2500. Nach dem "klass." Modell ergibt sich dann f.d. n-te Gener.: ; mit n>>1. Nach 10 Gen. =150 d haben wir also zB. ** Akku schwach, to be cont. ** ...weiter geht's... Fliegen, richtig? Einen Nachteil hat d. Modell freilich: es gibt zwar eine Reprod.rate, aber keine Lebensdauer d. erwachs. Fliegen. Wie beim Zinseszins d. Kapital, bleiben hier d. Fliegen "ewig" erhalten. Man könnte annehmen, daß sie nach 1 (o. 2) Gen. ihren Zweck erfüllt haben u. eingehen.. Das u. einige and. Beding. (wie Nahrungs- & Platzvorrat) kann/müßte man ins "logist." Modell übernehmen, aber das überlass ich (vorlf.) anderen..;-) d) Maggies Lob kann ich mich nur anschließen; ein so gedulg. & ausdauer. "Lehrer" ist auch hier nicht selbstverst., in d. Schule ganz zu schweigen... :-( NiFU, viel Erfolg & ein schönes, langes WE! Sonnige Grüße aus Wien! |
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Halli, das ist sehr nett, dass Sie diesen Beitrag kommentieren, und sich mit meiner Aufgabe beschäftigt haben, allerdings kann ich Ihren rechenweg nicht richtig nachvollziehen, die Formeln und Werte, die Sie verwenden kenne ich nicht. Ist das nur ein anderer Weg meine AUfgabe zu lösen, oder kommen auch andere Ergebnisse dabei raus? Ja die Lehrpläne scheinen sich wirklich sehr oft zu verändern ;-) Liebe Grüße, Maddie |
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hallo matlog, falls du da bisat, kannst du mir vielleicht nochmal erklären, wie man auf eine stabile population kommt, unnhängig von den werten hier ? danke schonmal |
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Zu einer Übergangsmatrix A heißt ein Zustand stabil, wenn gilt: . Nach einer vergangenen Zeiteinheit kommt also derselbe Ausgangszustand wieder heraus. Es ändert sich nichts, der Zusatand bleibt also stabil. ist ja ein lineares Gleichungssystem. Um es zu lösen muss das von der rechten Seite nach links. Über Matrizenrechnung erreicht man das mit der Einheitsmatrix (Einsen auf der Hauptdiagonale, Nullen sonst): Leichter zu verstehen ist es vielleicht, wenn man mit als Gleichungen schreibt und in jeder Gleichung durch Subtraktion nach links bringt. Dieses Gleichungssystem muss man dann lösen, . indem mam es auf Dreiecksform bringt. Falls ein stabiler Zustand existiert, dann wird automatisch die letzte Zeile es entstehen also unendlich viele Lösungen. Bei den meisten Aufgaben ist aber nur eine Lösung interessant, weil noch eine zusätzliche Bedingung an die erfüllt sein muss, . oder eine feste Gesamtzahl. Diese Zusatzbedingung nimmt man dann noch dazu und bestimmt die stabile Verteilung. Das ist so allgemein schwer zu beschreiben. Vielleicht ist es an einem Beispiel einfacher. |
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das ging ja schnell :-) also ich hab mal eine aufgabe als beispiel hochgeladen. es geht dabei nur um aufgabe  |
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Also somit Wenn Du nun unterhalb der Diagonalen (mit Nullen herstellst, sollte sich die letzte Zeile ergeben. Diese ersetzt Du durch die Zusatzbedingung . Jetzt wieder auf Dreiecksform bringen und Du erhältst Werte für und die stabile Verteilung. |
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Hallo Matlog! danke für alles! Ich wollte dir nur mitteilen, dass ich eben gerade meine mündliche Matheprüfung hatte und ich habe Punkte (also ne glatte erreicht, und das nur deinetwegen :-D) also vielen vielen Dank, ohne dich hätte ich das niemals geschafft! Liebe Grüße und alles alles Gute, Maddie |
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Hallo Maddie, ja super!!! Das hört man gern, wenn die Hilfe solche Erfolge zeigt. Aber die Note kann nicht NUR meinetwegen heraus gekommen sein. Ich war nämlich nicht in der Prüfung dabei! Du scheinst das dann schon gut rüber gebracht zu haben. Viele Grüße und weiter viel Erfolg, Matlog |
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ja danke, aber trotzdem hätte ich ohne dich gar nicht erst so sicher in die prüfung gehen können :-D) also nochmals danke :-) Maddie |
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:-) so hab nochmal eben deine hilfe hier bewertet, natürlich mit sehr gut |
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