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Letzten beiden Ziffern in Dezimaldarstellung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

christl123 aktiv_icon

13:09 Uhr, 27.03.2014

Es wäre toll, wenn mir beim Folgenden Beispiel jemand helfen könnte.

Beispiel:

Man bestimme die letzten beiden Ziffern in der Dezimaldarstellung von

(a) x = 7^123456789

Hinweis: Man verwende 100 = 4*25 und den chinesischen Restsatz.

DrBoogie aktiv_icon

13:13 Uhr, 27.03.2014

Es hilft

7^{4}

zu berechnen und nachzudenken, was über die letzten zwei Ziffern von

7^{4 * k}

für beliebiges

k

sagen lässt. Und dann dies auf 100=4*25 anzuwenden, wie im Hinweis.

christl123 aktiv_icon

13:16 Uhr, 27.03.2014

7^123456789 mod 4
7^123456789 mod 25
phi(4) = 2
phi(25) = 20

7^2 kongruent 1 mod 4
7^20 kongruent 1 mod 25

Wie kann ich darauf den chinesischen Restsatz anwenden?

DrBoogie aktiv_icon

13:19 Uhr, 27.03.2014

Sorry, aber was bedeutet

7^{20}

kongruent mod 25?
Da fehlt etwas, denke ich.

Wofür man hier den chinesischen Satz braucht, ist mir ein Rätsel, es geht ganz easy ohne.

christl123 aktiv_icon

13:20 Uhr, 27.03.2014

Habe es oben ausgebessert.

Ja, aber wir müssen es mit diesem machen...

DrBoogie aktiv_icon

13:27 Uhr, 27.03.2014

Nun, ob Ihr wirklich diesen Satz nutzen müsst, weiß ich nicht, mir erscheint es komisch, denn bei dem Satz geht es ja um mehrere Kongruenzen, hier gibt's aber nur eine relevante Kongruenz - Modulo 100.

Die Lösung ist ja wie gesagt einfach: da 123456789=1234567*25*4+22*4+1 ist,
haben wir

7^{123456789} = (7^{4})^{1234567 * 25 + 22} * 7

und wegen

7^{4} = 2401 = 1 (m o d u l o 100)

gilt sofort

7^{123456789} = 7 (m o d u l o 100)

Bummerang

13:28 Uhr, 27.03.2014

Hallo,

mit

7^{2} \equiv 1 mod 4

und

7^{4} \equiv 1 mod 25

erhältst Du Lösungen für

7^{123456789} \equiv x_{1} mod 4

und

7^{123456789} \equiv x_{1} mod 25

. Mit dem chinesischen Restkalssensatz erarbeitest Du alle Lösungen dieses Systems von Kongruenzen und die haben alle die selben letzten beiden Stellen. Somit auch

7^{123456789}

christl123 aktiv_icon

13:49 Uhr, 27.03.2014

Für den chinesischen Restsatz brauche ich die Form

x kongruent L1 mod m1
x kongruent L2 mod m2
x kongruent L3 mod m3

wie komme ich darauf?

Bummerang

14:42 Uhr, 27.03.2014

Hallo,

wenn

7^{2} \equiv 1 mod 4,

dann ist doch

7^{2 \cdot n + m} \equiv 7^{m} mod 4,

oder? Versuche das nachzuvollziehen mit den Potenzgesetzen und den Rechenregeln mit modulo.

christl123 aktiv_icon

14:47 Uhr, 27.03.2014

Es wäre sehr hilfreich, wenn du das bis zur Lösung vorrechnest. Dann könnte ich leichter verstehen worauf du hinaus willst..

Bummerang

14:55 Uhr, 27.03.2014

Hallo,

"Es wäre sehr hilfreich, wenn du das bis zur Lösung vorrechnest." - Aber Dir mehr helfen würde es, wenn Du es selber machen könntest. Mal ehrlich, was ist so schwer daran, bei