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Liegen diese 6 Punkte in einer Ebenen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Ebenengleichung

babara aktiv_icon

16:56 Uhr, 27.01.2016

Hallo

Meine Aufgabe ist
Beweise, dass

a) P_{1} (0,1,2)

und alle weiteren Punkte, die sich durch Permutation der Koordinaten von

P_{1}

ergeben, in einer Ebene liegen,

b)

dass bei geeigneter Wahl der Reihenfolge diese Punkte ein regelmäßiges Sechseck bilden und

c)

dass man einen Würfel so mit einer Ebene schneiden kann, dass die Schnittfigur ein regelmäßiges Rechteck ist.
( Man nehme als Beispiel den Würfel mit den Ecken

(0,0,0), (2,0,0), (0,2,0)

und

(0,0,2)

. )

Den Teil der Aufgabe

a)

habe ich bearbeitet mit den 6 Punkten

P_{1} = (0,1,2), P_{2} = (0,2,1), P_{3} = (1,0,2), P_{4} = (1,2,0), P_{5} = (2,0,1)

und

P_{6} = (2,1,0)

.
Zur Parametergleichung der Ebene habe ich als Stützvektor

\vec{p_{1}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

und als Aufspannvektoren

\vec{P_{1} P_{5}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix})

und

\vec{P_{1} P_{6}} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

genommen, weil

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

linear unabhängig sind:
Ebene

ε : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) + v \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

Anschließend habe ich für

\vec{x}

die Vektoren

\vec{p_{1}}

bis

\vec{p_{6}}

eingesetzt und erhalte

(u, v) = (0,0)

für

\vec{p_{1}}, = (- 1,1)

für

\vec{p_{2}}, = (1, - \frac{1}{2})

für

\vec{p_{3}}, = (- 1, \frac{3}{2})

für

\vec{p_{4}}, = (1,0)

für

\vec{p_{5}}, = (0,1)

für

\vec{p_{6}} \Rightarrow

Alle Vektoren liegen in

ε

.

Aber wie geht es weiter ??

Um Hilfe bittet

Barbara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

DrBoogie aktiv_icon

16:59 Uhr, 27.01.2016

Es ist viel einfacher die Normalform der Ebene zu nutzen.
Denn man sieht sofort, dass für alle diese Punkte gilt

x + y + z = 3

. Und das ist schon eine fertige Gleichung der Ebene in der Normalform.

babara aktiv_icon

17:09 Uhr, 27.01.2016

Ja, drboogie, darauf hätte ich auch kommen können. Bitter, dass meine Rechnerei und besonders die Schreibarbeit so überflüssig waren.

Nun zum Teil

b)

der Aufgabe:
Es gibt bei 6 Punkten

15

unterschiedliche Punktverbindungen, deren Längen ich mit Hilfe des Skalarprodukts ausgerechnet habe:

P_{1}

mit

P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}

mit den Abständen

\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{6}, \sqrt{8}

P_{2}

mit

P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}

mit den Abständen

\sqrt{6}, \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{6}

P_{3}

mit

P_{4}, P_{5}, P_{6}

mit den Abständen

\sqrt{8}, \sqrt{2}, \sqrt{6}

P_{4}

mit

P_{5}, P_{6}

mit den Abständen

\sqrt{6}, \sqrt{2}

P_{5}

mit

P_{6}

mit dem Abstand

\sqrt{2}

.
Kann man jetzt schon auf die Form des Sechsecks schließen?

Barbara

ledum aktiv_icon

00:01 Uhr, 28.01.2016

Hallo
ja man kann, die kürzestenAbstände sind die Seiten, die nächsten die diagonalen, die eine Ecke verbinden, die längsten der Durchmesser. also hast du mit der Reihenfolge

1,2,4,6,5,3, . . 1

dein Sechseck mit den Seiternkanten

\sqrt{2},

Durchmesser

= 2 \cdot \sqrt{2}

bei

d)

ist wohl auch ein Sechseck gemeint denn sonst wär es wohl ein Quadrat"
dazu ein Bild
Gruß ledum

babara aktiv_icon

14:41 Uhr, 28.01.2016

Hall ledum,

Danke für deine Antwort.

Du hast Recht, in Teil

c)

der Aufgabe muss es natürlich "regelmäßiges Sechseck" heißen.

Meine Frage: Nimmst du in deiner schönen Zeichnung nicht die in der Aufgabenstellung zu

b)

eigentlich noch zu beweisende Regelmäßigkeit des Sechsecks, von dem wir doch bisher zwar

u . a

. wissen, dass alle Seiten mit

\sqrt{2}

gleiche Länge haben, als gegeben an?
Stellt man sich die Ecken eines Sechsecks als Gelenke vor, so kann man ein solches Gebilde doch beliebig - etwa durch Längenveränderung eines Durchmessers oder durch Spiegelung einer Ecke an der Verbindungsgeraden der Nachbarecken

-

in seiner Form variieren, ohne dass sich die Seitenlängen verändern. Die Tatsache, dass dieses Gebilde ein

r e g e l m

ä ß

i g e s

Sechseck ist, muss nach meiner Meinung erst noch durch Hinzuziehung der weiteren Längenangaben bewiesen werden.
Und auf den Gedanken, dass die 6 Punkte die Mittelpunkte der Seiten eines Quadrats sind und damit der Aufgabenteil

c)

erledigt ist, wäre ich nicht gekommen, wäre er nicht durch den Text des Aufgabenteils

c) -

und damit auch durch deine Zeichnung - einem nahegelegt worden.

Wenn du meiner Meinung sein solltest, wäre ich für einen Tipp dankbar, wie man ohne mühsame Berechnung der Winkel weiterkommen kann. Oder aber du versuchst mich davon zu überzeugen, dass die Aufgabe bereits in Gänze gelöst ist.

Freundliche Grüße

Barbara

DrBoogie aktiv_icon

14:45 Uhr, 28.01.2016

"Wenn du meiner Meinung sein solltest, wäre ich für einen Tipp dankbar, wie man ohne mühsame Berechnung der Winkel weiterkommen kann."

Wieso mühsam? Die Berechnung ist doch recht einfach. Man kann diese Aufgabe also auch rein analytisch lösen, ohne jegliche Zeichnung (obwohl die Zeichnung schon hilft, wenn man geometrisch denkt).

babara aktiv_icon

18:44 Uhr, 28.01.2016

Alles klar:

Ich habe nicht daran gedacht, dass der Innenwinkels

α :=

Winkel

P_{3} P_{1} P_{2}

wegen der Kongruenz der entsprechenden Teildreiecke (sss) genau so groß ist wie die anderen Innenwinkel ist.

cos α = \frac{{\bar{P_{1} P_{2}}}^{2} + \bar{P_{1} P_{3}} - \bar{P_{2} P_{3}}}{2 \cdot \bar{P_{1} p_{2}} \cdot \bar{P_{1} P_{3}}} = \frac{{\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow α = 120^{0}

Danke und "Guten Abend"

Barbara

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