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Liegt eine Bijektion vor?
Schüler Gymnasium,
Tags: Analysis, Äquivalenzrelation, Bijektion, Lineare Algebra, Quotientenraum, Relation.
 
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Hallo, ich habe ein bischen überlegt, dass bei volgendem Beispiel eine Bijektion vorliegt. Ich weis allerdings nicht, ob ich nicht irgendeinen Fehler bei meiner Überlegung gemacht habe. Beispiel: Sei f:A→B eine surjektive Abbildung. Falls mit aus A. Meine Behauptung: zwischen und gibt es eine Bijektion. Mein Beweis/Überlegung: Alle a die miteinander in Relation stehen sind in einer Äquivalenzklasse. Diese a haben alle den selben Funktionswert, da nur, falls . Der Quotientenraum hat also als Bestandteile Mengen, die jeweils alle a mit dem selben Funktionswert beinhalten. Jede diese Äquivalenzklassen ergibt eingesetzt in die Funktion einen anderen Funktionswert, denn hätten zwei Äquivalenzklassen den selben Funktionswerte, wären die Elemente äquivalent und somit in der sleben Äquivalenzklasse. Somit liegt Injektion zwischen und vor. Da surjektiv ist, gibt es auch eine Surjekton zwischen und da die Vereinigung aller Äquivalenzklassen gleich A ist, da jedes a aus A zumindest zu sich selbst in Relation steht und somit in zumindest einer Äquivalnezklasse enthalten ist. Also ist was die Definition von Surjektion ist. Da es zwischen und eine Injektion und eine Surjektion gibt, gibt es auch eine Bijektion. Wäre toll, wenn jemand einen Fehler entdecken würde oder eben meine Überlegung bestätigt. Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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