Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Limes? Wie berechnet man ihn?

Limes? Wie berechnet man ihn?

Universität / Fachhochschule

Tags: lim

TheDuskfall aktiv_icon

20:56 Uhr, 25.10.2009

Hey leute. ich hab ne wichtige frage und hoffe dass mir jemand weiterhelfen kann.
Mein professor hat immer gesagt, der limes sei nicht wichtig, somit hat er uns das auch nicht beigebracht. nun studiere ich wirtschaft und muss plötzlich mit dem limes umgehen können... das problem ist nun, dass ich noch nie etwas mit dem limes gemacht habe... kann mir vllt jemand erklären wie man limes rechnungen bewältigen kann?

lim (2 x + 1)

x \to 3

wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand sagen könnte, wie man diese rechnung hinbekommt^^

danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

isi86 aktiv_icon

21:00 Uhr, 25.10.2009

ganz einfach, wenn der limes (genzwert der funktion) gegen ne zahl strebt, dann einfach zahl für

x

eingeben und ausrechen. in dem fall für

x 3

einsetzten. grenzwert der funktion ist dann 7

Severshe aktiv_icon

21:10 Uhr, 25.10.2009

Der Limes ist an sich ein Grenzwertbildung.

Bei deinem Beispiel nicht alzu spannen.

lim_{x \to 3} (2 x + 1) = (2 \cdot 3 + 1) = 7

Meistens benutzt man es, wenn du durch Null teilst, solltest du die Zahl einfach einsetzen.

z . B

. ist darüber die Ableitung einer Funktion an einem Ort definiert:

Wenn

f (x)

deine Funktion ist dann ist

f' (x = x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Da macht es schon mehr Sinn nicht direkt 0 einzusetzten ;-)

TheDuskfall aktiv_icon

21:46 Uhr, 25.10.2009

danke für eure hilfe. ich hab nun ein beispiel selbst probiert und habe es geschafft^^
ich werde aber sicherlich noch fragen haben... hoffe dass ihr mir dann auch wieder helfen könnt... danke nochmal^^

TheDuskfall aktiv_icon

22:32 Uhr, 25.10.2009

so, ich hab nun einige übungen hinter mir.
jedoch bin ich bei einigen rechnungen auf folgendes problem gestoßen: wenn ich für

x

die jeweilige zahl einsetze zeigt der taschenrechner ERROR an.

muss ich bei denjenigen rechnungen, wo error erscheint, eine wertetabelle erstellen und damit den limes berechnen oder wie funkt das genau?

danke im voraus

Severshe aktiv_icon

22:52 Uhr, 25.10.2009

Also meistens musst du

diegleichung so umformen, dass du eben den Limes bilden kannst.

Poste mal so eine GLeichung, wo das nciht funktioniert.

TheDuskfall aktiv_icon

22:56 Uhr, 25.10.2009

Wenn ich zum beispiel einen bruch habe und im nenner nur

x

steht und ich für

x = 0

einsetze, dann erscheint error im taschenrechner

Severshe aktiv_icon

23:00 Uhr, 25.10.2009

Ja, das ist ein Typischer fall, wo der Limes sinnvoll ist.

Weil man ja bekanntlich nicht durch 0 Teilen kann.

Aber

lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty

bzw. "sauberer" formuliert:

lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = lim_{x \to \infty} x

TheDuskfall aktiv_icon

23:06 Uhr, 25.10.2009

hab hier zum bespiel folgende rechnung

lim \frac{2^{x} - 1}{x}

x \to 0

wenn ich hier jezt einfach 0 an der stelle von

x

einsetze dann zeigt der taschenrechner error an. wie genau muss ich den limes hier lösen? kann ich eine wertetabelle anlegen und damit schauen welcher wert am nähesten bei 0 ist? oder wie muss ich genau vorgehen?

die lösung hier wäre

0,6931

(aber wie komm ich darauf?)

Severshe aktiv_icon

23:44 Uhr, 25.10.2009

Ok, die zu Lösen da braucht es schon ein bsichen mehr wissen:
Hier musst du die Regel von L'Hospital anwenden:

http//de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

Wenn du die noch nicht hattest kannst du die nicht lösen:

L'Hospital kannst du anwenden wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen 0 konvergieren also:

wenn:

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0

Dann gilt:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f' (x)}{g' (x)}

Also wie die Ableitungen

in deinem Fall:

lim_{x \to 0} (2^{x} - 1) = 0

lim_{x \to 0} (x) = 0

Also gilt:

Hier brauchst du die e-Fkt.

mit

f (x) = 2^{x} - 1 = e^{ln (2) \cdot x} - 1

\Rightarrow f' (x) = ln (2) \cdot e^{ln (2) \cdot x} = ln (2) \cdot 2^{x}

lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{ln (2) \cdot 2^{x}}{1} = ln (2) = 0,6931 . .

.

Wie gesagt schon etwas mehr aufwand.

TheDuskfall aktiv_icon

21:59 Uhr, 26.10.2009

ich bin hier ein wenig überfordert

wie muss ich bei folgender rechnung vorgehen?

lim \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{x}

x \to 0

ich hab hier wiederum versucht für

x = 0

einzusetzen und der taschenrechner ergibt wiederum error...

vllt kann mir ja jemand von euch die genaue vorgehensweise erläutern?

Severshe aktiv_icon

22:50 Uhr, 26.10.2009

Hallo,

EDITED:

Du kannst hier doch einfach mit

x

kürzen. Schon hast du kein Problem mehr.

1Mathematik1 aktiv_icon

22:58 Uhr, 26.10.2009

lim f (x) \to + \infty

x < 0

lim f (x) \to - \infty

x > 0

x \to + - \infty

f (x) \to - \infty

x \to - \infty

f (x) \to + \infty

x \to + \infty

Severshe aktiv_icon

23:03 Uhr, 26.10.2009

1Mathematik1 ist das eine Frage oder eine Antwort?

Ein bischen Text zur Erklärung ist da sehr hilfreich...

hokage aktiv_icon

00:18 Uhr, 27.10.2009

Hi weil in meinem Thread zu eigendlich selbiger Frage nicht geantwortet wird, versuche ich hier mal mein Glück, da du dich ja anscheinend echt auskennst :-D)

Wenn ich jetzt folgende Aufgabe habe:

lim x \to 3

(kleines hochgestelltes Minus hinter der

3)

\frac{1}{x - 3}

Mit dem Wissen was ich momentan habe kann man das gar nicht kösen.
Ich würde also so vorgehen. Es wird ja nach der linksseitigen Annäherung an 3 gefragt.

Der Grenzwert wäre für mich also (-querliegende

8)

Und das Intervall (-querliegende

8, 3)

Ich würde aber aus Neugier gerne erfahren, wie die l'hopital Regel funktioniert und was genau e-Fkt. ist.

Außerdem habe ich selber noch eine Frage :-P)
Ich hoffe es ist ok, wenn ich die hier Stelle.

Bestimme alle

c

Werte, so dass die Funktion

f

an (-querliegende

8,

querliegende

8)

kontinuierlich ist:

f (x) = x^{2}

für

x < c

f (x) = x + 1

für

x \geq c

(die Aufgabenstellung habe ich aufm englischen übersetzt. Hoffe es ist trotzdem verständlich.)

Ich habe mit dazu folgendes überlegt:
Damit die Funktion

f

am Grenzwertintervall (gibt es den Begriff?) kontinuierlich ist, müssen die beiden Graphen sich ja an eben dieser Stelle berühren. Und damit das der Fall ist müsste doch eigentlich der x-Wert und somit auch

c

gleich sein. Mein Plan war es also folgende gleichung aufzustellen:

x^{2} = x + 1

und das dann nach

x

auflösen. Allerdings mag mir das irgendwie nicht gelingen. Ist mein Ansatz total falsch, oder bin ich momentan einfach zu blöd einfaches Algebra anzuwenden? Wäre super, wenn du mich auf die richtige Fährte bringen würdest :-P)

Btw. könntest du für mich einmal ausführlich mit Erklärungen den Satz von l'hopital und was damit zusammen hängt an folgendem Beispiel verdeutlichen? Denn vll. kommt dann ja doch etwas aussagekräftigeres als -querliegende 8 raus.

lim x \to 3

(dieses hochgestellte Minus nach der

3)

\frac{1}{x - 3}

Danke dir schonmal für deine Hilfe. Würde mich echt super freuen und ich finde es wirklich schade, dass man hier die Leistungen der Helfer nicht würdigen kann.

Z . B

. duch Karma vergeben, oder so :-D) Das gibts nähmlich bei vielen Foren.

liebe grüße hokage

Ps: Ich habe mal eine Frage zur Schreibweise: Wie bekomme ich es hin in meinen Beiträgen Wurzelzeichen, querliegende 8 (unendlicheitszahl), dieses hochgestellte Minus, den Limes in der richtigen Form (also

lim

und dann da drunter in klein

x \to y)

und andere mathematische Ausdrücke zu verwenden, die es auf meiner Tastatur nicht gibt. Habe das hier im Forum schon oft gesehen und ich finde das erhöht die Lesbarkeit ganz eindeutig.

Severshe aktiv_icon

00:46 Uhr, 27.10.2009

Hallo Hokage,

Sind ja ne Menge Fragen, mal sehen was ich alles davon beantworten kann.

Also dein Ergebnis zu

lim_{x \to 3^{-}} \frac{1}{x - 3} = - \infty

"lim_(x->3^-)1/(x-3)=-oo"

Ist richtig. Super!

Zu L'Hospital:

Du willst folgendes ausrechnen:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)}

und hast einen der folgenden 2 Fälle:

1.

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

und

lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \pm \infty, lim_{x \to x_{0}} g (x) = \pm \infty, (lim_{x \to x_{0}} \frac{f' (x)}{g' (x)} = \pm \infty

oder lim_(x->x_0)f'(x)/g'(x)=konst.)
(Alle bestimmt divergent.

d . h

. Sie gehen jeweils nur nach

+

oder

- \infty)

Wenn eine der beiden Bedingungen erfüllt sind gilt:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f' (x)}{g' (x)}

Also

z . B . :

x_{0} = 3

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}

sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen

0 \Rightarrow

Ich kann L'Hospital anwenden:

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot x}{1} = - 3

Und ja ich weiß hätte man auch mit Binom lösen können. Mir ist im Moment kein besseres Beispiel eingefallen.

Severshe aktiv_icon

01:11 Uhr, 27.10.2009

Über die e-Funktion kann man an sich schon allein ein Buch zu schreiben.

Was in der Schulzeit erstmal wichtig ist:

Wenn man die e-Fkt Ableitet bekommt man wieder die e-Fkt raus:

f (x) = e^{x}

f' (x) = e^{x}

Die Kettenregel gilt hier trotzdem!!!

mit

a, c \in ℝ

g (x) = c \cdot e^{a \cdot x}

g' (x) = c \cdot a \cdot e^{a \cdot x}

Du kannst jede Potenz auch mit hilfe der e-Fkt schreiben.
Das braucht man manchmal um kompliziertere Ableitungen zu finden:

h (x) = 5^{x}

Da hat man so ja erstmal keine Ahnung wie man das ABleiten soll.
Mit hilfe der e-Fkt und ihrer Umkehrfunktion (der natürliche Logarithmus "ln" das ist der Logarithmus zur Basis

e)

geht das:

h (x) = 5^{x} = e^{ln (5) \cdot x}

ln (5)

ist ja nur eine konstante

\Rightarrow

h' (x) = ln (5) \cdot e^{ln (5) \cdot x} = ln (5) \cdot 5^{x}

Zu deinem Beispiel:

Das Wichtige bei deinem Beispiel ist, dass

lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{x - 3} = + \infty

ist.

Zur Aufgabe:

x^{2} = x + 1 \Rightarrow

x^{2} - x - 1 = 0

pq-Formel

Dann prüfst du für welches

c

gilt:

lim_{x \to c^{-}} x^{2} = lim_{x \to c^{+}} x + 1

hokage aktiv_icon

02:14 Uhr, 27.10.2009

Einsame Spitze ;-)

1000

Dank für deine ausführlichen Erläuterungen und Antworten.

Ich rolle das ganze von hinten nochmal auf :-P)

Ich zetiere mich mal selber:
"Oder bin ich momentan einfach nur zu dumm um einfaches Algebra anzuwenden?"

Die pq Formel kenne ich, kann sie aber nicht anwenden^^ Ich lerne, wenn es geht immer nur einen Weg, auch wenn der in manchen Fällen der ungünstigere ist :-D)
Aber du hast mich natürlich an etwas erinnert ;-)

x^{2} - x - 1 = 0

\Leftrightarrow (x^{2} - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 1 = 0

\Leftrightarrow {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1,25 = 0

\Leftrightarrow {(x - \frac{1}{2})}^{2} = 1,25

\Leftrightarrow x - \frac{1}{2} =

Wurzel(1,25) (kennst du die Schreibweise um das Wurzelzeichen zu erhalten?)

\Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 1,12

oder

x - \frac{1}{2} = - 1,12

(kannst du mir mit dem gerundet Zeichen und dem

v

für oder auch helfen :-P)?)

\Leftrightarrow x = 1,62

oder

x = - 0.62

Sollte ja soweit stimmen ;-)

Durch einsätzen stelle ich dann fest, dass nur der positive Wert passt. Die negative Lösung fällt also weg.

Als antwort habe ich also

c = 1,62

Gut jetzt habe ich hier über geschätzte

100

Zeilen quadratische Ergänzung angewendet, aber dafür sollte es richtig sein :-D)
Nochmal thx für den Anstoß in die richtige Richtung ;-) Das nächste mal sollte ich etwas mehr überlegen :-D)

So es geht weiter:

Ich bin gerade in den USA (Auslandsschuljahr) und belege da halt Calculus. Bei uns sollte das Stoff der

12

und

13

sein (Differential und Integral). Ich habe somit die

11

quasi in Mathe übersprungen und bin mir unsicher, ob da l'hopital oder e-Fkt. schon drankommt. Glaube ich aber eher nicht.

Obwohl ich in Mathe eig. recht gut bin blicke ich bei der Anwendung von e-Fkt. nicht so ganz durch^^ Ist aber nicht deine Schuld. Ich warte einfach, bis es normal in der Schule drankommt.

L'hopital ist mir da schon eher gewogen. Ich verstehe auch alle genannten Schritte, aber ich habe eine Frage zu deinem Beispiel.

Du schreibst:

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}

Es ist auch logisch, dass nach l'hopital

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1}

Den nächsten (eig. ja der leichteste) Schritt kann ich allerdings nicht nachvollziehen...

Wenn ich jetzt 3 für

x

in dieser Funktion einsätze, erhalte ich folgendes:

lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot 3}{1} = 6

Dein Ergebnis ist allerdings

- 3 . .

.

Wo ist mein Denkfehler?

Und ja bisher hätte ich es über den Binom gelöst, so dass sich der Nenner wegkürzt und ich keine Probleme mehr mit dem Einsätzen habe.

Als aller letztes harke ich nocheinmal kurz nach.

lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3}

lässt sich also auch nicht mit l'hopital ausrechnen?
Also:

\frac{0}{1} = 0

Ich denke es geht nicht, weil wir ja kein

x

mehr haben, aber ich frage trotzdem nochmal :-P)

Dir vielen, vielen Dank für deine Hilfe :-D)

Ps: Kann man hier vll. nutzer speichern, oder als Freunde adden? Vll. habe ich ja in Zukunft nocheinmal ein Problem, wo du mir leicht helfen kannst :-D)

Severshe aktiv_icon

09:25 Uhr, 27.10.2009

Ohh, das

lim_{x \to 3} 2 \cdot x = 6

Ist natürlich richtig. Das war beim Fehler. Sry

Mit dem Binom: Hier geht das aber was machst du bei:

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x}

Da hilft nur L'Hospital.

btw. pq-Formel:

x^{2} + p \cdot x + b = 0

\Rightarrow x_{\frac{1}{2}} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p^{2}}{4} - q)}

geht meistens schneller als quadratische ergänzung.

Mit dem wie schreibt man

. .

. Oben über dem Feld, wo du selber schreibst müsste es einen Button: "Wie schreibt man Formeln?" geben. da sind sachen wie "sqrt" (Wurzel)
oder

\land

="^^" nachzulesen.

Mit dem Grenzwert:

lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3}

Du musst immer vorher prüfen, ob du L'Hospital überhaupt anwenden darfst:

lim_{x \to 3} (x - 3) = 0

aber

lim_{x \to 3} 1 \neq 0

also kein L'Hospital

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

666248

665546

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?