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Limes und Beweis

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Grenzwerte

Schwalbenkoenig aktiv_icon

16:13 Uhr, 17.12.2018

Würde meine Lösungen vergleichen, weshalb ich nur die Lösung der beiden Aufgaben bräuchte,
danke im Voraus :-)

abload.de/img/planwncq6.jpg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

rundblick aktiv_icon

16:17 Uhr, 17.12.2018

.
umgekehrt :

\to

schreibe deine Lösungen auf ..
dann kann dir hier bestimmt jemand sagen, ob du richtig gearbeitet hast ..

\to . .

.
.

ermanus aktiv_icon

18:11 Uhr, 17.12.2018

@rundblick: Recht hast du!
Aber davon abgesehen, erscheint mir die Aufgabe 1) irgendwie missglückt.
Sei

c > 0

beliebig und

a_{n} = \frac{c}{n}

. Dann gilt doch offenbar

a_{n} \to 0

,
aber ...
Findest du das nicht auch zumindest seltsam? Ob hier der Originalaufgabensteller
sich geirrt hat? Oder habe ich einen Totalausfall ? ;-)
Gruß ermanus

Schwalbenkoenig aktiv_icon

18:48 Uhr, 17.12.2018

. .

. Hier

michaL aktiv_icon

18:50 Uhr, 17.12.2018

Hallo,

@ermanus: Dann gälte

\frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n}}{n} = \frac{\frac{c}{1} + 2 \frac{c}{2} + \dots + n \frac{c}{n}}{n} = \frac{n c}{n} = c

. Insbesondere wäre die Folge konstant. Allerdings nicht (unbedingt) konvergent gegen Null.
Worauf willst du hinaus?

Mfg Michael

Schwalbenkoenig aktiv_icon

18:52 Uhr, 17.12.2018

Wurde nicht so hochgeladen wie ich es wollte
abload.de/img/blatt173ca8.jpg und abload.de/img/blatt2hke69.jpg, wieso kann ich nichts editieren

. .

Schwalbenkoenig aktiv_icon

18:57 Uhr, 17.12.2018

@michaL wieso nicht nicht unbedingt gegen 0?
die Aufgabenstellung sagt doch

lim

(n->∞)

a_{n} = 0

ist doch einfach nur einsetzen oder bin ich da falsch ?

ermanus aktiv_icon

19:24 Uhr, 17.12.2018

@michaL:
In der Aufgabe wird gefordert, den Limes - wenn er denn überhaupt immer existiert -
zu berechnen,
z.B. sei

b_{n}

irgendeine Folge von Zahlen aus

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

und sei

a_{n} = \frac{b_{n}}{n}

. Wie soll man den in Frage stehenden Limes berechnen?

michaL aktiv_icon

20:30 Uhr, 17.12.2018

Hallo,

sehe ich im Moment auch nicht.
Heißt aber nicht, dass es nicht geht. :-)

Vielleicht kommt mir noch eine Idee. (Muss aber nicht.)

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

21:05 Uhr, 17.12.2018

Hallo,

also, wenn nicht bloß

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

gefordert würde, sondern

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

als konvergent, dann könnte man relativ leicht beweisen, dass

lim_{n \to \infty} \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n}}{n} = 0

. (Satz von Olivier)

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

21:05 Uhr, 17.12.2018

Für

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

divergiert der fragliche Ausdruck bestimmt gegen

\infty

.
Wenn gewünscht, werde ich das beweisen.

@michaL: Oh, interessanter Satz :-)

Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 17.12.2018

Hallo,

für mich nicht nötig, habe ich auch untersucht.

Mir scheint, der OP ist ohnehin abgetaucht.

Mfg Michael

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