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Limesmenge (Häufungspunkte), lim sup und lim inf

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

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11:28 Uhr, 09.11.2009

Bestimmen Sie die Limesmenge, den oberen und unteren Limes der Folge (an)_n€

ℕ

(a_{n}) n

aus

ℕ

a) a_{n} = {(- 1)}^{n} (1 + \frac{1}{n})

b) a_{n} = n^{2 \cdot {(- 1)}^{n}} - n^{{(- 1)}^{n}}

Ich wäre dankbar für eine datailierte Lösung mit möglichst viel erklärungen wie das genau funktioniert, bzw was verlnagt ist.
Zu

a)

hab ich schon herrausgefunden das der

lim \supset = 1

und der

lim

inf=-1 ist, weiß aber nicht warum.

Danke im vorraus :-)

Astor aktiv_icon

12:06 Uhr, 09.11.2009

Hallo,
bei Aufgabe a) strebt

\frac{1}{n}

gegen Null. Wegen der Potenz

(- 1)^{n}

, deren Wert ständig zwischen -1 und 1 pendelt, ist der untere Grenzwert inf=-1, bzw der obere Grenzwert Sup=1.

Gruß Astor

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14:40 Uhr, 09.11.2009

Und was genau ist dann die Limesmenge? Kannst du mir noch nen Tipp zu

B

geben?

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12:28 Uhr, 10.11.2009

Ich schieb meine letzte Frage nochmal etwas hoch bezüglich der Limesmenge :-)

hagman aktiv_icon

18:28 Uhr, 10.11.2009

\frac{1}{n}

Nullfolge ist, sind

+ 1

und

- 1

sogar die einzigen Häufungspunkte

Zu

b) :

Wenn

n

gerade ist, ist

a_{n} = n^{2} - n,

und wenn

n

ungerade ist, ist

a_{n} = \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n}

.
Dann ist 0 der einzige Häufungspunkt, liminf

a_{n} = 0,

limsup

a_{n} = + \infty

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02:12 Uhr, 11.11.2009

Vielen Dank, das hab ich nun soweit verstanden. Wirklich klar ist mir noch nicht was mit der Limesmenge gemeint ist. Könnte mir das jemand an einem der oberen Beispiele erklären? Ist damit nun die Menge aller Zahlen zwischen

- 1

und 1 gemeint oder etwas anderes?

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11:53 Uhr, 15.11.2009

Ich hab nochmal eine Rückfrage zu

b)

Müsste der

lim

inf nicht bei

- \frac{2}{9}

liegen da für

n = 3

man

\frac{1}{9} - \frac{1}{3} = - \frac{2}{9}

erhält und das dann der kleinst mögliche Wert ist, auch wenn es im weiteren gegen 0 konvergiert?

Und was genau ist mit der Limesmenge gemeint?

arrow30

12:25 Uhr, 15.11.2009

schau dir Antwort von Hagman an .. mit Limesmenge sind hier wohl die Häufungspunkte gemeint. Hagman hat dir gezeigt dass diese Folge für unendlich viele ungerade

n

sich zur 0 nähert aber andererseits für unendlich viele gerade

n

sich zu

\infty

nähert . und damit konvergiert sie NICHT

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12:29 Uhr, 15.11.2009

Also ist die Limesmege gleich dem

lim \supset

und

lim

inf oder alle Zahlen zwischen

lim

inf und

lim \supset

arrow30

12:38 Uhr, 15.11.2009

Limesmenge sind die Häufungspunkte und nicht was dazwischen liegt

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13:34 Uhr, 15.11.2009

Ok, war durch die Aufgabenstellung irritiert da dort die Limesmenge, der obere und untere Limes gesucht wurde.

Also lautet die Lösung dann limsup

= 1

liminf=-1 Limesmege:

{- 1; 1}

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