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Limsup und Liminf für Mengen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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14:43 Uhr, 23.03.2019

HI Alle! Gemeinsam mit einem Kollegen sitze ich gerade vor der Aufgabe und wir haben ehrlich gesagt keine Ahnung. Wir hoffen ihr könnts uns nicht nur einen Ansatz geben, sondern auch beim Ausformulieren helfen. Danke schonmal.

Seien

X \neq \emptyset

eine Menge und

A_{n} \subseteq X

für alle

n \in ℕ

. Wir setzen dann:

\underset{n \to \infty}{limsup} A_{n} := {x \in X : X \in A_{n}

für unendlich viele

n \in ℕ}

\underset{n \to \infty}{liminf} A_{n} := {x \in X : X \in A_{n}

für alle bis auf endlich viele

n \in ℕ}

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) es gilt

\underset{n \to \infty}{liminf} A_{n} \subseteq \underset{n \to \infty}{limsup} A_{n}

b) Ist

(A_{n})_{n \in ℕ}

fallend oder wachsend, so konvergiert

(A_{n})_{n \in ℕ}

. Bestimmen Sie in beiden Fällen den Limes der Folge.

c) Ist A (eine Teilmenge der Potenzmenge von X) eine Sigma-Algebra und sind

A_{n} \in A

für alle

n \in ℕ

, so gelten

\underset{n \to \infty}{liminf} A_{n} \in A

und

\underset{n \to \infty}{limsup} A_{n} \in A

Wir haben einen ersten Ansatz zu a) allerdings bezweifeln wir, dass die Umformungen korrekt sind.

\underset{n \to \infty}{liminf} A_{n} := {x \in X : X \in A_{n}

für alle bis auf endlich viele

n \in ℕ} = {x \in X : \exists I \subseteq ℕ : I

endlich und

x \in A_{n} \forall n \in ℕ \ I} \subseteq {x \in X : \exists I^{c} \subseteq ℕ : I

unendlich und

x \in A_{n} \forall n \in ℕ \cap I^{c}} = *

Wir bezeichnen nun

I^{c} = J

und es gilt

J \cap ℕ = J

, daher ist

* = {x \in X : \exists J \subseteq ℕ : J

unendlich und

x \in A_{n} \forall n \in J} = {x \in X : X \in A_{n}

für unendlich viele

n \in ℕ} = : \underset{n \to \infty}{limsup} A_{n}

und für b) darf man das Monotoniekriterium anwenden für Folgen von Mengen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:48 Uhr, 23.03.2019

Hallo,

die Aussage

a)

ist eigentlich trivial, denn "für alle bis auf endlich viele in NN" ist offenbar dasselbe wie "für unendlich viele in NN"

Ihr habt das noch ein wenig ausgeführt mit einer richtigen Überlegung (Übergang zum komplement). Ich würde es so sagen:

Für

x

in liminf sei I

:= {i \in ℕ | x \in A_{i}}

. Dann ist

ℕ \ I

endlich, also I unendlich.

Wenn Ihr den Monotoniesatz kennt ist

b)

natürlich trivial.

Für

c)

Schaut Euch mal die Definition von liminf und limsup für Mengen in Wikipedia an. Mit dieser Charakterisierung ist die Aussage

c)

trivial. Ihr braucht also nur zeigen, dass diese Charakterisierung zu Eurer Defintion äquivalent ist.

Gruß pwm

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22:47 Uhr, 23.03.2019

Sollte ich den Monotoniesatz nicht verwenden dürfen, wie gehe ich dann vor? und danke c) hab ich mittlerweile

pwmeyer aktiv_icon

11:09 Uhr, 24.03.2019

Dann musst Du praktisch den Montonie-Satz beweisen.

Dann wäre zunächst die Frage, wie Ihr den Grenzwert von Mengen definiert habt.

Jedenfalls gilt ja

\cap_{n} A_{n} \subseteq

liminf

A_{n} \subseteq

limsup

A_{n} \subseteq \cup_{n} A_{n}

Im Fall, dass die

A_{n}

wachsend sind gilt auch:

\cup_{n} A_{n} \subseteq

liminf

A_{n} ...

.

Gruß pwm

lenast aktiv_icon

13:11 Uhr, 24.03.2019

Das heißt die Vereinigung muss zwangsläufig gegen die Grundmenge X konvergieren und der Schnitt gegen die leere Menge, d. h. wenn ich das formal noch hübsch hinschreibe bin ich fertig?

pwmeyer aktiv_icon

19:09 Uhr, 24.03.2019

Hallo,

die Vereinigung ist ein Menge, die konvergiert nicht. Die Mengenfolge

A_{n}

konvergiert gegen die Vereinigung, wenn die

A_{n}

wachsend sind.

Gruß pwm

lenast aktiv_icon

20:37 Uhr, 24.03.2019

Okey danke

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