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Linear unabhängige Teilmenge

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

Mathematicus aktiv_icon

22:26 Uhr, 14.04.2015

Hallo,
ich bräuchte Eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Ich bin noch nicht recht vertraut mit der Linearen Algebra. Wir hatten in der Übung folgendes Beispiel, welches ich nicht lösen konnte, ich habe die Lösung mitgeschrieben, kann sie aber nicht nachvollziehen, daher bitte ich um Eure Hilfe:

Seien

μ, λ \neq 0

. Ist

{1, e^{μ x}, e^{λ x}}

eine linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums

C [- 1; 1]

?
Anleitung: Unterscheiden Sie die beiden Fälle

μ = λ

und

μ \neq λ

(einer davon ist sehr leicht).
Nehmen Sie an, es gibt eine Linearkombination des Nullvektors

a * 1 + b * e^{μ x} + c * e^{λ x} = 0

und differenzieren Sie diese Gleichung! Dividieren Sie anschließend durch

e^{μ x}

(oder durch

e^{λ x}

).

Nun die Lösung aus der Übung

1.Fall

μ = λ \Rightarrow {1, e^{μ x}}

a * 1 + b * e^{μ x} = 0

Ist linear unabhängig.

# Muss die Gleichung hier für alle x aus [-1,1] erfüllt sein? -Ich könnte ja z.B.: für x=0 a=-1 und b=1 wählen, dann wäre die Gleichung doch auch erfüllt, aber nicht linear unabhängig oder?

2.Fall

μ \neq λ

a * 1 + b * e^{μ x} + c * e^{λ x} = 0 / \frac{d}{d x}

μ * b * e^{μ x} + λ * c * e^{λ x} = 0 / * μ

μ^{2} * b * e^{μ x} + λ^{2} * c * e^{λ x} = 0

(1)

μ^{2} * b * e^{μ x} + λ * μ * c * e^{λ x} = 0

(2)

Subtrahieren der beiden Gleichungen 1. und 2. führt auf:

c * e^{λ x} * λ * (λ - μ) = 0 \Rightarrow c = 0

#Mir ist absolut nicht klar, was bei Fall 2 gemacht wird, bzw. wieso hier die Ableitung gebildet wird, dass bei der letzten Gleihung c=0 gelten muss leuchtet mir ein da wir ja

μ \neq λ

angenommen haben.

Ich bitte Euch Licht in die Sache zu bringen, da es mir sehr wichtig ist die Sache wirklich zu verstehen, um für den Übungstest vorbereitet zu sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:58 Uhr, 14.04.2015

Hallo
der Vektorraum, um den es hier geht ist der der stetigen gunktionen, es geht NICHT um funktionswerte!
also heisst lin abhängig dass es ein

a, b, c

nicht alle 0 geben muss so dass die Gleichung zwischen den Funktionen für alle funktionswerte aus dem Def. Gebiet erfüllt sein muß.

d . h

f (x) = a + b \cdot e^{l λ \cdot x} + b \cdot e^{μ \cdot x} = 0

muss für alle

x

gelten, damit ist

f (x)

die Nullfunktion, also muss auch die Ableitung 0 sein!

anderer Weg den man gehen kann du setz 3 verschiedene Werte aus dem Def. gebiet ein

z . B 9,1, - 1

oder 3 andere dann muss das GS sicher für die 3 lösbar sein, ddu berechnest also die Determinanrw und zeigst damit dass es keine Lösung ausser der mit öauter 0 gibt.
Gruss ledum

Mathematicus aktiv_icon

23:09 Uhr, 14.04.2015

Ok, Danke. Aber die Vorgangsweise die ich in Fall 2. beschrieben habe ist mir noch nicht klar, wieso geht man hier so vor? -Erste und Zweite Ableitung voneinander zu Subtrahieren?

ledum aktiv_icon

23:51 Uhr, 14.04.2015

Hallo
Weil es einfacher als mein Weg den ich auch genannt habe ist. Wenn

f (x) = 0

dann auch alle Ableitungen, das nutzt man aus, weil die hier einfach sind.

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