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Linear unabhängige Vektoren

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Beweis, Linear, Linearkombination von Vektoren, unabhängig, Vektor

Stitchy101 aktiv_icon

10:47 Uhr, 26.11.2018

Gegeben ist ein Vektorraum

V

und zwei linear unabhängige Vektoren

v 1, v 2

aus V.

a)

Zeigen Sie: Dann sind auch die beiden Vektoren

3 v 1 + 2 v 2

und

v 1 + 3 v 2

linear unabhängig.

b)

Für welche reellen Zahlen

s

und

t

sind die folgenden Vektoren

w 1

und

w 2

linear abhängig bzw. lin. unabhängig?
w1=sv1+v2 w2=tv1+v2

Ich bin sehr verwirrt und hab leider keinen Durchblick was Beweise angeht.
Beide Vektoren sind linear unabhängig. Daher sind auch Linearkombinationen der beiden Vektoren unabhängig. In diesem Fall

3 v 1 + 2 v 2

und

v 1 + 3 v 2

. Das ist klar aber wie beweise ich das rechnerisch? Zeichnerisch habe ich das schon gemacht, aber das reicht ja nicht...

Auch bei der

b)

habe ich keinen Ansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

10:58 Uhr, 26.11.2018

a) z . B

. indirekter Beweis.

Stitchy101 aktiv_icon

11:09 Uhr, 26.11.2018

Okay indirekter Beweis...
wie genau müsste ich das denn machen
Ich muss ja zeigen, dass da

x \cdot v 1 = y \cdot v 2

nicht geht, also keine Lösungsmenge, da die Vektoren linear unabhängig sind.
Daher muss auch gelten, dass auch

x \cdot (3 v 1 + 2 v 2) = y \cdot (v 1 + 3 v 2)

nicht geht...
also:

3 v 1 x + 2 v 2 x -

yv1

- y 3 v 2

v 1 (3 x - y) + v 2 (2 x - y 3) = 0

3 x - y = 0

2 x - 3 y = 0

es existiert kein

x

und

y

mit diesen Bedingungen, daher ist die Linearkombination linear unabhängig...
so irgendwie? Macht das Sinn?

Respon

11:13 Uhr, 26.11.2018

Du hast ja eine Voraussetzung, nämlich dass

v_{1}; v_{2} l . u

.
Es gilt also

v_{1}, v_{2} l . u . \Rightarrow a \cdot v_{1} + b \cdot v_{2} = 0

NUR wenn

a = 0

und

b = 0

Angenommen,

3 \cdot v_{1} + 2 \cdot v_{2}; v_{1} + 3 \cdot v_{2}

seien

l . a

\Rightarrow \exists k

mit

3 \cdot v_{1} + 2 \cdot v_{2} = k \cdot (v_{1} + 3 \cdot v_{2}) \Rightarrow v_{1} \cdot (3 - k) + v_{2} \cdot (2 - 3 \cdot k) = 0

Da aber

v_{1}, v_{2} l . u

\Rightarrow 3 - k = 0

und

2 - 3 \cdot k = 0

Widerspruch

Stitchy101 aktiv_icon

11:22 Uhr, 26.11.2018

Alles klar super das habe ich verstanden!
wie wäre es dann mit der

b)

Ich habe w1=sv1+v2 und

w 2 =

tv1+v2
so wie bestimme ich

s

und

t

so, dass

w 1

und

w 2

linear abhängig oder unabhängig sind?
sv1+v2=tv1+v2
sv1+v2-tv1-v2= 0 dann sollte es linear anhängig sein, wenn das aufgeht
Also

v 1 (s - t) = 0

Damit es linear unabhängig ist muss

s = t

sein, wenn das nicht der Fall ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Das wären die beiden Fälle?

Respon

11:26 Uhr, 26.11.2018

Du hast

w_{1}

und

w_{2}

gleichgesetzt, dass muss ja nicht sein.

l . a . \Rightarrow \exists k

mit

w_{1} = k \cdot w_{2}

Aber die Idee geht in die richtige Richtung.

Stitchy101 aktiv_icon

11:32 Uhr, 26.11.2018

okay
w1=kw2
sv1+v2=k(tv1+v2)
sv1-ktv1+v2-kv2=0
v1(s-kt)+

v 2 (1 - k) = 0

s-kt=0 und

1 - k = 0

also

k = 1

s - 1 t = 0

daher

s = t - \to

linear abhängig sonst

l . u

Respon

11:35 Uhr, 26.11.2018

Und abschließend könnte man noch zeigen, dass mit

s = t

die Vektoren

w_{1}

und

w_{2}

wirklich

l . a

. sind bzw. bei

s \neq t l . u

Stitchy101 aktiv_icon

11:36 Uhr, 26.11.2018

Super vielen lieben Dank!
Dann müsste alles beantwortet sein.
Herzlichen Dank :-D)

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