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Lineare Abbildung - Basis Bildraum und Kern

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

lap00g

18:30 Uhr, 23.02.2019

Hallo,

gegeben sei folgende Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 & - 2 \\ 2 & 3 & 4 & - 3 \\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ - 2 & 1 & 4 & 7 \end{array})

einer lineare Abbildung

f : ℝ^{4} \to ℝ^{4}

Gesucht sind:
(i) Basis

k e r (f)

(ii) Basis des Bildraums

f (ℝ^{4})

Meine Lösungen:
(i) Basis

k e r (f)

Ich bringe die Matrix mittels Gaußverfahren auf die Stufenform, dadurch wird eine Zeile zur Nullzeile, dh der def der Matrix ist 1.

Als Lösung des Gleichungssytems bekomme ich:

x_{1} = x_{3}

x_{2} = - 2 t

x_{3} = t

x_{4} = 0

t \in ℝ

Eine Basis der

k e r (f)

wäre somit

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

.

(ii) Basis des Bildraums

f (ℝ^{4})

Hier forme ich die gegbene Matrix entweder mittels elementarer Spaltenumformungen um oder ich transponiere die Matrix und mache elementare Zeilenumformungen. Die Basis ist dann direkt aus der umgeformten Matrix ablesbar. Eine Zeile wird wieder zur 0 Zeile.

Als Basis des Bildraums erhalte ich:

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ - 1 \\ - 2 \\ 5 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 8 \end{array})

Meine Fragen:
(1) Stimmt das so?
(2) Gibt es irgendeine Möglichkeit das Ganze einfacher zu bestimmen, wenn sowohl Basis des Kerns als auch Basis des Bildraums gefragt sind? Das einzige, was mir dazu einfällt, ist der Rangsatz - an dem kann ich jedoch nur die Dimension der Basis des Bildraums ablesen, wenn ich den Defekt der Matrix kenne.

Danke!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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12:00 Uhr, 24.02.2019

Hallo,

wenn Du den Kern bestimmt hast, so wie Du es beschrieben hast, brauchst Du für die 2. Frage nichts weiter berechnen:

Das Bild wir ja durch die Spalten

a_{i}

von A aufgespannt. Daraus kann man eine Basis auswählen. Weil der Kern von A die Dimension 1 hat (wie von Dir bestimmt) hat das Bild die Dimension 3 (Dimensionssatz).

Aufgrund Deiner Berechnung ist

1 \cdot a_{1} - 2 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{3} + 0 \cdot a_{4} = 0

. Da bedeutet unter anderem, dass

a_{2}

Linearkombination von

a_{1}

und

a_{2}

ist, kann also aus dem Erezugendensystem gestrichen werden. Es verbleibt

{a_{1}, a_{2}, a_{4}}

als eine

(!)

Basis.

Gruß pwm

lap00g

12:49 Uhr, 24.02.2019

Hallo,

vielen Danke für deine Antwort!

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