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Lineare Abbildung, Eigenwert = 0

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

 
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kunkka

kunkka

20:49 Uhr, 18.09.2015

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Hallo,

ich habe eine lineare Abbildung vor mir, die einen Eigenwert λ =0 hat.

Ich soll die Abbildung auf in-, sur- und bijektivität untersuchen.

Sie kann nicht injektiv sein, weil Kern(L) ==0 ist, das ist soweit klar.

Kann ich jetzt schon ohne auf das Bild weiter einzugehen sagen, dass sie auch nicht surjektiv sein kann, weil laut Dimensionssatz dim(L)= dim(Kern) + dim(Bild) gilt und ja offensichtlich dim(Kern) ==0 ist?

Kann man das so ohne weiteres annehmen, oder habe ich einen Denkfehler?

VG
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kunkka

kunkka

20:50 Uhr, 18.09.2015

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Das Zeichen nach dem ersten Kern(L) soll ein ungleich sein.

Hat nich so geklappt wie ich es mir vorgestellt habe, sorry dafür!
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anonymous

anonymous

21:29 Uhr, 18.09.2015

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Dass die Abbildung nicht injektiv sein kann, hast du richtig erkannt.

Allerdings kann die Abbildung trotzdem surjektiv sein.
In endlich-dimensionalen Vektorräumen hast du recht, und deine Begründung ist richtig.
In unendlich dimensionalen Vektorräumen kann dir jedoch auch folgende Situation passieren:

dim(Bild(L))=dim(L)=∞ und dim(Kern(L))≠0

Dann gilt trotzdem:
dim(Bild(L))+dim(Kern(L))=∞=dim(L)


Ich liefere nun ein Beispiel, dass dieser Fall tatsächlich eintreten kann.
Betrachte den ℝ -Vektorraum ℝ[X] der Polynome in X mit reellen Koeffizienten und die Lineare Abbildung
L:ℝ[X]→ℝ[X],P(X)↦P'(X),
welche die Ableitung eines Polynoms beschreibt.

Die konstanten Polynome sind dann offensichtlich Eigenvektoren zum Eigenwert 0 und bilden zusammen den Kern der Abbildung.

Die Abbildung ist jedoch surjektiv. Denn zu jedem Polynom
∑k=0nakXk∈ℝ[X]
existiert ein Polynom
∑k=0nakk+1Xk+1∈ℝ[X]
mit
L(∑k=0nakk+1Xk+1)=∑k=0nakXk.


Ein Ungleichheitszeichen " ≠ " kann man hier übrigens durch Eingabe von "\ne" bzw. im Text-Modus auch durch Eingabe von "!=" erzeugen. Vergleiche:
http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
kunkka

kunkka

21:33 Uhr, 18.09.2015

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Ich habe in der Frage nicht erwähnt, dass wir den endlichen Vektorraum ℝ<=2 [x] betrachten.

So oder so vielen dank für die hilfreiche Antwort!