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Lineare Abbildung, Eindeutigkeit bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

AstroYoman

22:22 Uhr, 01.01.2015

Ein frohes neues Jahr, liebe Community!

brauche Hilfe zu folgenden Aufgaben:

1 .

Eine

ℝ

-lineare Abbildung

g : ℝ^{2} \to ℝ^{3}

erfülle die Gleichung

g (1, 1) = (1, 2, 3)

und

g (1, 7) = (1, 0, 1) .

Begründen Sie, dass

g

eindeutig bestimmt ist und bestimmen Sie

g (x, y)

für beliebige

x, y \in ℝ

2 .

Die Menge aller

z \in ℂ

mit

∣ z ∣^{2} \leq 2 \cdot R e (z)

enthält keine komplexen Zahlen, deren Realteil echt größer als

2

ist.
(wahr oder falsch)

Zu

2

∣ z ∣^{2} \leq 2 \cdot R e (z)

x^{2} + y^{2} \leq 2 x

y^{2} \leq 2 x - x^{2} \Rightarrow R = \sqrt{2 x}

y \leq \sqrt{2 x - x^{2}} = \sqrt{- x (x - 2)}

y \geq - \sqrt{2 x - x^{2}} = - \sqrt{- x (x - 2)}

y = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

und

x_{2} = 2

\Rightarrow 0 \leq R e (z) = x \leq 2

Das heißt, die Aussage ist wahr. Stimmt das?

Wie bestimmt man die Menge aller

z \in ℂ

mit

∣ z ∣^{2} \leq 2 \cdot R e (z)

?
Und die Aussage, die Menge enthält keine komplexen Zahlen mit negativem Imaginärteil, ist falsch, da

- \sqrt{2 x - x^{2}} \leq y \leq \sqrt{2 x - x^{2}}

. Ist das richtig?

pleindespoir aktiv_icon

22:53 Uhr, 01.01.2015

Eine Aufgabe pro Thread, sonst gibts Chaos!
g(1,1)=(1,2,3) und g(1,7)=(1,0,1)
kann man anders scheiben:

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) \cdot (1) + (\begin{array}{rcl} u \\ v \\ w \end{array}) \cdot (1)

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) \cdot (1) + (\begin{array}{rcl} u \\ v \\ w \end{array}) \cdot (7)

und schon findet man 6 Gleichungen für sechs Parameter.

abakus

22:54 Uhr, 01.01.2015

Hallo,
du schreibst hier eine Abfolge von Ungleichungen bzw. Gleichungen, in denen für Außenstehende deine Gedankengänge (wegen fehlender Kommentare) unverständlich bleiben.
Beispiele: Was meinst du mit R=...?
Danach folgen zwei Ungleichungen mit y. Du schreibst nicht, dass das die Auflösung der darüber stehenden quadratischen Ungleichung für zwei zu unterscheidende Fälle ist.
Wenn man weiß wie es geht, kann man dein Vorgehen trotz der Lücken nachvollziehen.

Wesentlich ist: Der Term

2 x - x^{2}

ist für x>2 negativ. Da

y^{2}

nicht negativ sein kann, ist

y^{2} \leq 2 x - x^{2}

für x>2 nicht erfüllbar.

abakus

23:04 Uhr, 01.01.2015

"Wie bestimmt man die Menge aller z..."

Hallo,
betrachten wir an Stelle der Ungleichung mal nur die Gleichung

x^{2} + y^{2} = 2 x

.
Subtrahiere 2x und addiere 1:

x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} = 1

.
Mit binomischer Formel wird daraus

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

.
Das ist eine Kreisgleichung.
(Radius? Mittelpunkt?)
Da wir eine Ungleichung haben musst du nur überlegen, ob nun auch noch das Kreisinnere oder das Gebiet außerhalb des Kreises zur Lösung gehört.

anonymous

23:08 Uhr, 01.01.2015

ich äußere mich mal zur 1)
Die Vektoren a1 = (1,1) und a2 =(1,7) bilden eine Basis des R^2. Die lineare Funktion g ist dann durch die Vorgabe der Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.

x \in R^{2} : e s g i b t α, β \in R m i t : x = α a_{1} + β a_{2}

dann ist, da g eine lineare Funktion ist,

g (x) = g (α a_{1} + β a_{2}) = α g (a_{1}) + β g (a_{2}) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 1)

du drückst also einen (bel) Vektor x als Linearkombination von a1 und a2 aus, bestimmst alpha und beta und gehst damit in die eben genannte Abbildungsvorschrift

AstroYoman

02:35 Uhr, 02.01.2015

"Das ist eine Kreisgleichung.
(Radius? Mittelpunkt?)"

Ja, die quadratische Ergänzung vergessen^^

y^{2} \leq - x^{2} + 2 x = - (x - 1)^{2} + 1 = 1 - (x - 1)^{2}

Das heißt, ein Kreis mit dem Radius 1 und der Mittelpunkt (aus dem Ursprung) um 1 nach rechts verschoben.

Die Lösung der quadratischen Ungleichung:

y \leq \sqrt{1 - (x - 1)^{2}}

y \geq - \sqrt{1 - (x - 1)^{2}}

und somit ist die Lösungsmenge das Kreisinnere.

AstroYoman

03:48 Uhr, 02.01.2015

"du drückst also einen (bel) Vektor x als Linearkombination von a1 und a2 aus, bestimmst alpha und beta und gehst damit in die eben genannte Abbildungsvorschrift"

g (v) = g (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2}) = α g (v_{1}) + α_{2} g (v_{2}) = α_{1} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + α_{2} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Ist damit gezeigt, dass

g

eindeutig bestimmt ist?

anonymous

10:09 Uhr, 02.01.2015

die Darstellung eines Vektors als Linearkombination der Basisvektoren ist eindeutig!
In unserem Fall gibt es also zu jedem Vektor x eindeutig bestimmte Zahlen (Koordinaten bzgl. der Basis) alpha und beta, so dass gilt:
x = alpha a1 + beta a2
dann ist aber auch g(x) = alpha g(a1) + beta g(a2) eindeutig bestimmt.

AstroYoman

15:18 Uhr, 02.01.2015

"Wesentlich ist: Der Term

2 x - x^{2}

ist für

x > 2

negativ. Da

y^{2}

nicht negativ sein kann, ist

y^{2} \leq 2 x - x^{2}

für

x > 2

nicht erfüllbar."

Für

0 < x < 2

hat

y \geq - \sqrt{1 - (x - 1)^{2}}

die negativen Werte.
Somit ist die Aussage, die Menge enthält keine komplexen Zahlen mit negativem Imaginärteil

y

, falsch. Richtig?

anonymous

15:56 Uhr, 02.01.2015

Hey,

erst einmal: Bitte nicht mehr mehrere Aufgaben durcheinander fragen (oder beantworten). Stiftet nur Verwirrung :-)

Zur Eindeutigkeit: Ich verstehe nicht, wo hier das Problem ist. Es ist schließlich auch gefragt, dass Du die Abbildung selbst bestimmen sollst. Wenn Du das tust, wirst Du sehen, dass es nur eine Lösung gibt...

Grüße

pleindespoir aktiv_icon

18:07 Uhr, 02.01.2015

Der Vorteil von solchen Multithreads ist, dass es nicht so viele Antworten gibt.

AstroYoman

18:30 Uhr, 02.01.2015

Ich danke euch für eure Hilfe und entschuldige mich, dass ich mehr als eine Aufgabe pro Thread reingestellt habe.

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