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Lineare Abbildung - Vektoren

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Abbildungen, Vektoren

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19:53 Uhr, 20.02.2013

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Eine Abbildung

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

wird ür alle Vektore

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3}

gegeben durch:

f (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x - 3 y - z \\ - 4 x + 6 y + z \end{matrix})

(1)

Zeigen Sie, das

f

eine lineare Abbildung ist.

(2)

Berechnen Sie

f (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), f (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), f (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und leiten Sie die Darstellungsmatrix

M (f; \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}; \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})

her.

Kann mir jemand dabei helfen? Habe mich zur linearen Abbildung schon etwas durchgelesen, aber werde nicht schlüssig dadurch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:19 Uhr, 21.02.2013

niemand?^^

anonymous

12:11 Uhr, 21.02.2013

Was genau ist da unklar? Wenn man das wüsste, könnte man dir bestimmt besser helfen.

Zu

(1) :

Die Abbildung

f

ist dann linear, wenn für alle

v_{1} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix})

und

v_{2} = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix})

aus der Definitionsmenge und alle Skalare

λ

gilt:

f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})

f (λ \cdot v_{1}) = λ \cdot f (v_{1})

Bzw. kann man stattdessen auch in einem Schritt prüfen, ob gilt:

f (λ \cdot v_{1} + v_{2}) = λ \cdot f (v_{1}) + f (v_{2})

(2) :

Wie es da steht:
Zuerst

f ((1, 0, 0)), f ((0, 1, 0)), f ((0, 0, 1))

berechnen. Denn wenn man diese als Spalten in eine Matrix schreibt, erhält man die gesuchte Matrix.

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23:47 Uhr, 26.02.2013

hmmm, ich brauche glaube ein Beispiel.
wie ist das überhaupt mit

M (f; \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}; \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})

zu verstehen? womöglich ist es kein problem sie zu rechnen, die definition ist für mich fragwürdig, bzw. was war

\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}

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00:50 Uhr, 27.02.2013

ich habe bisher gezeigt (noch auf papier) das die addition gilt.

Die 2. Teilaufgabe habe ich auch gelöst, was wirklich nur einsetzen ist, jedoch ist die Fragestellung für mich immernoch fragwürdig, was es mit

M (f; . .

. ) auf sich hat. Die Matrix habe ich jedoch ausgerechnet.

anonymous

01:10 Uhr, 27.02.2013

Edit: Ich habe gerade nochmal deinen Beitrag gelesen:

\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}

sollen die Basisvektoren der kanonischen Basis (also der Standarbasis) im

ℝ^{3}

sein.

\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}

sollen die Basisvektoren der kanonischen Basis (also der Standarbasis) im

ℝ^{2}

sein.

M (f; \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}; \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})

soll die Darstellungs-Matrix von

f

zu den kanonischen Basen von

ℝ^{3}

und

ℝ^{2}

sein.

Diese Matrix macht dann, multipliziert mit einem Vektor, im Prinzip das gleiche, was

f

mit diesem Vektor anstellen würde.

Dabei ist es aber wichtig, in welcher Form man den Vektor an die Matix übergibt, und in welcher Form man den Ergebnisvektor erhält.

Mit Form ist hier von mir gemeint, zu welcher Basis der Vektor dargestellt ist.

Nehmen wir ein Beispiel:
Ein Vektor

v = 1 \cdot e_{1} + 2 \cdot e_{2} + 3 \cdot e_{3},

hat dargestellt zur kanonischen Basis

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

des

ℝ^{3}

die folgende Form:

{[v]}_{B} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Nun gibt es neben der kanonischen Basis aber auch noch andere Basen. Zum Beispiel:

C = ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}))

Dann sieht

v

dargestellt zur Basis

C

folgendermaßen aus:

{[v]}_{C} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

Offensichtlich erhält man allerdings unterschiedliche Vektoren, wenn man eine Matrix mit

{[v]}_{B}

und mit

{[v]}_{C}

multipliziert. Da also die Wahl der Basen entscheident ist, bei der Frage, wie die Matrix von

f

aussieht, sind die Basen, zu denen

f

dargestellt werden soll, durch die Schreibweise

M (f; e_{1}, e_{2}, e_{3}; e_{1}, e_{2})

.

Ich bin leider eher langsam und der Beitrag ist recht lang geworden. Dafür hoffe ich aber, dass alles einigermaßen verständlich rüberkommt.

:Edit-Ende

Ok.

Wie bereitsgeschrieben, muss für die Linearität geprüft werden, ob

f (λ \cdot v_{1} + v_{2}) = λ \cdot f (v_{1}) + f (v_{2})

für alle

v_{1}, v_{2} \in ℝ^{3}

und alle

λ \in ℝ

gilt.
(Also soll geprüft werden, ob es egal ist zuerst zu addieren und zu skalieren und dann abzubilden, oder zuerst abzubilden und dann zu addieren und zu skalieren.)

Also zur

(1) :

Sei

λ \in ℝ

und

v_{1} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix}) \in ℝ^{3}

und

v_{2} = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix}) \in ℝ^{3}

. Dann gilt:

f (λ \cdot v_{1} + v_{2})

= f (λ \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix}) + (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix}))

= f ((\begin{matrix} λ \cdot x_{1} + x_{2} \\ λ \cdot y_{1} + y_{2} \\ λ \cdot z_{1} + z_{2} \end{matrix}))

= (\begin{matrix} 2 \cdot λ \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot λ \cdot y_{1} + 3 \cdot y_{2} - λ \cdot z_{1} - z_{2} \\ - 4 \cdot λ \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} + 6 \cdot λ \cdot y_{1} + 6 \cdot y_{2} + λ \cdot z_{1} + z_{2} \end{matrix})

= (\begin{matrix} λ \cdot 2 \cdot x_{1} - λ \cdot 3 \cdot y_{1} - λ \cdot z_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot y_{2} - z_{2} \\ λ \cdot (- 4) \cdot x_{1} + λ \cdot 6 \cdot y_{1} + λ \cdot z_{1} - 4 \cdot x_{2} + 6 \cdot y_{2} + z_{2} \end{matrix})

= λ \cdot (\begin{matrix} 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot y_{1} - z_{1} \\ - 4 \cdot x_{1} + 6 \cdot y_{1} + z_{1} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot y_{2} - z_{2} \\ - 4 \cdot x_{2} + 6 \cdot y_{2} + z_{2} \end{matrix})

= λ \cdot f ((\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix})) + f ((\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix}))

= λ \cdot f (v_{1}) + f (v_{2})

Fertig!
Das sieht jetzt auf den ersten Blick ein wenig hässlich aus, ist aber einfaches nachrechenen.

Bei

(2)

habe ich bereits geschrieben, dass man zunächst das Folgende berechnen sollte:

f ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 0 \\ - 4 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix})

f ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 0 \\ - 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})

f ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1 \\ - 4 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

Daher lautet die gesuchte Matrix:

M = (\begin{matrix} 2 & 3 & - 1 \\ - 4 & 6 & 1 \end{matrix})

Noch eine Bemerkung zur

(2),

warum die gesuchte Matrix so aussieht, wie von mir beschrieben:
Eine lineare Abbildung ist schon dadurch bestimmt, was sie mit einer Basis anstellt.
Daher hat man auch

f

auf die Basisvektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

losgelassen.
Die Wahl der Basis wurde durch "

e_{1}, e_{2}, e_{3}

" in "

M (f; e_{1}, e_{2}, e_{3}; e_{1}, e_{2})

" bestimmt, also ganz einfach dadurch dass man die Matrix von

f

zu dieser Basis sucht.

Nun will man also, dass die Matrix im Prinzip das gleiche macht, wie die Abbildung, also dass:

M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix})

M \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})

M \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

Würde da nicht "

e_{1}, e_{2}

" bei "

M (f; e_{1}, e_{2}, e_{3}; e_{1}, e_{2})

" stehen, sondern würde man sich für eine andere Basis interessieren, so müsste man

(\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

vorher allerdings in die entsprechend andere Basis umrechnen.
Durch die Dimension des Definitionsbereichs

dim (ℝ^{3}) = 3

und der des Wertebereichs

dim (ℝ^{2}) = 2,

kann man sich nun überlegen, dass

M

eine 2\times3-Matrix sein muss, also:

M = (\begin{matrix} m_{1, 1} & m_{1, 2} & m_{1, 3} \\ m_{2, 1} & m_{2, 2} & m_{2, 3} \end{matrix})

Also:

(\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix}) = M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1, 1} & m_{1, 2} & m_{1, 3} \\ m_{2, 1} & m_{2, 2} & m_{2, 3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1, 1} \\ m_{2, 1} \end{matrix})

(\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix}) = M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1, 1} & m_{1, 2} & m_{1, 3} \\ m_{2, 1} & m_{2, 2} & m_{2, 3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1, 2} \\ m_{2, 2} \end{matrix})

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) = M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1, 1} & m_{1, 2} & m_{1, 3} \\ m_{2, 1} & m_{2, 2} & m_{2, 3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1, 3} \\ m_{2, 3} \end{matrix})

Hier sieht man also ganz schön, dass die berechneten Vektoren

(\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

den Spalten von

M

entsprechen. Soweit zur Erklärung.

Hast du jetzt verstanden, wie die Aufgabe gelöst wird?
(Wobei es eigentlich wünschenswert ist, auch zu verstehen "warum" und nicht nur "wie".)
Wenn du es wünscht, kann ich dir noch eine Aufgabenstellung geben, an der du so etwas nochmal selbst probieren kannst, nachdem ich die Lösung dieser Aufgabe hier schon beschrieben habe.

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01:35 Uhr, 27.02.2013

wow ! kenkyu vielen dank für diese ausführliche antwort ! habs verstanden ! vielen vielen dank

!!!!!

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