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Lineare Abbildung an der Ebene spiegeln.

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

wimb24 aktiv_icon

15:44 Uhr, 14.11.2023

Wie könnte man bei der Unterpunkt

b)

die Punkte an der Ebene normal auf

{(2,1,2)}^{t}

spiegeln ?
Ich brauche eure Hilfevorschläge!
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HJKweseleit aktiv_icon

20:30 Uhr, 16.11.2023

Der Begriff "normal an der Ebene ... spiegelt" ist mir fremd. Wie heißt denn die Ebene? ist der angegebene Vektor der Normalenvektor der Ebene und geht diese durch den Ursprung?

michaL aktiv_icon

22:23 Uhr, 16.11.2023

Hallo,

mir auch.
Die einzig sinnvolle Möglichkeit ist die, dass wir an der Ebene

(\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) * (\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}) = 0

spiegeln sollen.

Wer denkt sich derartig verschrobene Formulierungen aus?

Mfg Michael

HJKweseleit aktiv_icon

23:20 Uhr, 17.11.2023

Nehmen wir an, dass

(\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})

der Normalenvektor der Ebene ist, die durch (0 0 0) geht (letzteres: Wenn die Spiegelung eine lin. Abbildung sein soll, muss (0 0 0) auf (0 0 0) abgebildet werden, die Spiegelebene also durch diesen Punkt gehen).

Die Ebenengleichung heißt somit 2x + y + 2z = 0.

Betrachte einen Punkt (x y z) und seinen Ortsvektor

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

. Von dort aus gehst du senkrecht auf die Ebene,
also k

\cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})

weiter:

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

+ k

\cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})

(\begin{array}{rcl} x + 2 k \\ y + k \\ z + 2 k \end{array})

Diese Ortskoordinaten sollen in die Ebene führen, deshalb setzten wir sie in die Ebenengleichung ein: 2(x + 2k) + (y + k) + 2(z + 2k) = 9k + 2x + y + 2z = 0, also k =

- \frac{1}{9}

(2x + y + 2z).

Um an der Ebene zu spiegeln, gehen wir aber doppelt so weit auf die Ebene zu, durch sie hindurch und landen dann genau im gegenüberliegenden Spiegelpunkt:

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

- \frac{2}{9}

(2x + y + 2z)

(\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})

(\begin{array}{rcl} \frac{1}{9} x - \frac{4}{9} y - \frac{8}{9} z \\ - \frac{4}{9} x + \frac{7}{9} y - \frac{4}{9} z \\ - \frac{8}{9} x - \frac{4}{9} y + \frac{1}{9} z \end{array})

.

Jetzt musst du nur noch die Matrix aufschreiben, die

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

auf

(\begin{array}{rcl} \frac{1}{9} x - \frac{4}{9} y - \frac{8}{9} z \\ - \frac{4}{9} x + \frac{7}{9} y - \frac{4}{9} z \\ - \frac{8}{9} x - \frac{4}{9} y + \frac{1}{9} z \end{array})

abbildet.

michaL aktiv_icon

08:56 Uhr, 18.11.2023

Hallo,

sehr tapfer.
Ich denke aber, dass wir getrost davon ausgehen können, dass der OP kein Interesse mehr an dem Faden hat.
Eingestellt am 14., Nachfrage am 16., bis heute (18.) keine Antwort.

Mfg Michael

HJKweseleit aktiv_icon

16:34 Uhr, 18.11.2023

Trotzdem noch mal ein Nachtrag:

Ist

(\begin{array}{rcl} a \\ b \\ c \end{array})

der Normalenvektor einer durch (0 0 0) gehenden Ebene, so heißt die Spiegelmatrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

(\begin{array}{rcl} a & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

Sie ist zu sich selbst invers (=Rückspiegelung).

Die Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

\frac{1}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

(\begin{array}{rcl} a & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

projiziert die Punkte des Raumes senkrecht in die Ebene und ist nicht invertierbar, da ein Rückspiegeln zwar in Richtung des Normalenvektors möglich wäre, aber die Entfernung zum Ursprungspunkt nicht wiederherstellbar ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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