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Lineare Abbildung auf Faktorraum V / U

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

grombo93 aktiv_icon

19:27 Uhr, 24.03.2016

Hallo Forum,

mir macht folgendes Lemma zu schaffen:

Es seien $V$ ein K-Vektorraum, $U$ ein Teilraum von $V$ und $\frac{V}{U}$ der Faktorraum von $V$ nach $U$
Die Abbildung $π : V \to \frac{V}{U}$ mit $π (v) = v + U$ ist ein Epimorphismus mit Kern(pi) $= U$

Wir hatten jetzt folgendes Beispiel : Sei $V = R^{2}$ und $U = V$

also gilt ja, dass jeder Vektor aus $U$ auf den 0-Vektor abbildet:

also folglich $z . B$ . $π ((3,4)) = (0,0)$

Das verstehe ich aber beim besten Willen nicht denn eigentlich ist ja $(3,4) + U$ die Menge aller Vektoren aus $V$ addiert mit $(3,4)$ . Inwiefern ist das der Nullvektor?

Danke schonmal im Vorraus, vielleicht findet sich ja jemand, der das besser versteht :-D)

lg grombo

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DrBoogie aktiv_icon

19:55 Uhr, 24.03.2016

"also folglich z.B. $π ((3, 4)) = (0, 0)$ "

Nein. $π ((3, 4)) = (3, 4) + U$ . Das ist wirklich ein Nullvektor in $V / U$ ,
denn $(3, 4) + U = (0, 0) + U$ , weil $(3, 4)$ ja in $U$ liegt.
Beachte: $v + U = w + U$ <=> $v - w \in U$ .

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