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Lineare Abbildung aus Vektoren bestimmen

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Tags: Linear Abbildung

 
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matheknecht

matheknecht aktiv_icon

15:52 Uhr, 07.09.2019

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Hallo,

ich bin dabei für eine Mathe Klausur zu üben und versuche mich an folgender Aufgabe:
[siehe Anhang]

Leider bin ich mir bei meinem Ansatz komplett unsicher (eventuell verwirrt mich das Alpha auch einfach ...).

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, was ich im Aufgabenteil a) und c) machen muss?

Für c) war mein Ansatz die Bildvektoren mit einer generischen Matrix

|abc|
|def|
|ghi|

zu multiplizieren, um 9 Gleichungen zu erhalten. Soweit richtig? Wie es danach weitergeht habe ich allerdings auch noch nicht auf dem Schirm.

Vielen Dank und viele Grüße

dr4Qc

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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16:21 Uhr, 07.09.2019

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Hallo,
wenn du genau hinguckst, solltest du erkennen, dass
(1,1,0)T-(1,0,-1)T=(0,1,1)T ist.
Nun benutze die Linearität von F.
Gruß ermanua
matheknecht

matheknecht aktiv_icon

18:38 Uhr, 07.09.2019

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Verstehe, also würde folgendes gelten:

F[(0|1|1)]
=F[(1|1|0)-(1|0|-1)]
=F[(1|1|0)]-F[(1|0|-1)]
=(0|0|1)-(0|-2|0)
=(0|2|1)

und demnach die Linearität für a=0, korrekt?

Vielen Dank schonmal für diesen Hinweis - Gibt es zum Lösen so etwas wie eine algorithmische Lösung, oder muss man hier wirklich den "scharfen Blick" drauf haben?

---

Zum Teil c):

Gesucht wird die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis.
⇒ Nun habe ich ja 3 Vektoren - die 2 linear Unabhängigen und den extra Vektor aus teil b)- und die dazugehörigen Bilder.
⇒ Die darstellende Matrix bezüglich der gegebenen Basis ist also die Matrix bei der die Spalten aus den gegebenen 3 Bildern der Basisvektoren bestehen!?
⇒ Um die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis zu erhalten, muss ich demnach "lediglich" einen Basiswechsel durchführen?

Viele Grüße
Antwort
ermanus

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20:43 Uhr, 07.09.2019

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Ja, dein α=0 ist korrekt.
Dass α wohl nicht beliebig sein wird, ist ja aufgrund der Aufgabe
sehr wahrscheinlich. Daher wird man wohl
(0,1,1)T als Linearkombination r(1,0,-1)T+s(1,1,0)T
schreiben können. Das ist eine Klausuraufgabe, da soll man vermutlich nicht
stundenlang Rezepte nachkochen, sondern eine gewisse "Einsicht"
unter Beweis stellen.
Ich würde bei c) nicht den komplzierten Weg über eine Basistransformation
gehen; Zwar sind die in Rede stehenden Vektoren linear unabhängig, deren Bilder unter
F sind aber bereits in der Standardbasis angegeben.
Nun ist es aber doch nicht schwer, die Einheitsvektoren
als Linearkombinationen der Vektoren (1,0,-1)T,(1,1,0)T,(1,0,0)T anzugeben,
z.B. ist (0,1,0)T=(1,1,0)T-(1,0,0)T, also
F((0,1,0)T)=....
Gruß ermanus
matheknecht

matheknecht aktiv_icon

13:11 Uhr, 08.09.2019

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Nochmal vielen Dank!

Also komme ich auf folgende Linearkombinationen:
(1,0,0)T=1⋅(1,0,0)T
(0,1,0)T=1⋅(1,1,0)T-1⋅(1,0,0)T
(0,0,1)T=-1⋅(1,0,-1)T+1⋅(1,0,0)T

Demnach dann:
F[(1,0,0)T]=(0,0,0)T
F[(0,1,0)T]=F[(1,1,0)T]-F[(1,0,0)T]=(0,0,1)T-(0,0,0)T=(0,0,1)T
F[(0,0,1)T]=-F[(1,0,-1)T]+F[(1,0,0)T]=-(0,-2,0)T+(0,0,0)T=(0,2,0)T

Und die Spalten der Darstellungsmatrix besteht dann aus den resultierenden Vektoren:
A={(0,0,0)T,(0,0,1)T,(0,2,0)T}

Soweit korrekt?

Teil b) ist dann natürlich trivial:
A⋅(1,2,3)T=(0,6,2)T
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ermanus

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14:56 Uhr, 08.09.2019

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Super! Genauso hätte ich es auch gemacht :-)
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