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Lineare Abbildung bestimmen

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

roggenfaenger aktiv_icon

16:48 Uhr, 11.12.2014

Hallo,

ich habe folgende Frage:

ich habe eine lineare Abbildung

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

und mir sind Vektoren

(a, b, c, d)

des

ℝ^{3}

bekannt, für die gilt

(Beispiel Vektor

a)

a = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

mit

f (a) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix})

wie bestimme ich "f"?

Für einen Denkanstoß/Ansatz wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße,

rf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

19:04 Uhr, 11.12.2014

Für

a = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

würde

f (a) = (\begin{array}{rcl} y \\ - (x + z) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ - (1 + 1) \end{array})

die Bedingung deiner Aufgabe erfüllen.
Das ist aber nur eine mögliche Interpretation von f.
Du schriebst "Beispiel Vektor a".
Du müsstest also auch die entsprechenden Funktionswerte für die Vektoren b, c, d nennen, damit wir eine für ALLE Vektoren passende Funktionsvorschrift finden.

roggenfaenger aktiv_icon

19:17 Uhr, 11.12.2014

Danke für deine Antwort.

Ich hätte gedacht, dass es jemand mir eine allgemeine Beschreibung geben könnte, wie ich so ein Problem lösen könnte. Deine Lösung habe ich auch heraus - aber durch herumknobeln und weniger durch systematisches lösen. Man muss doch eine Art LGS aufstellen können, oder nicht?

Hier sind die weiteren Vektoren

gesucht

f

mit

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

a = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

mit

f (a) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix})

b = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

mit

f (b) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

c = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

mit

f (c) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix})

d = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

mit

f (d) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

ledum aktiv_icon

16:00 Uhr, 12.12.2014

Hallo
damit das eine lineare Abbildung ist, die man beschreiben kann müsste wegen

b = 2 d - a - c

auch

f (b) = 2 f (d) - f (a) - f (b)

sein.

a, b, c, d

sind linear abhängig, also auch die Bilder.
Falls die Abbildung linear wäre: finde daraus die Abbildung der Standardeinheitsvektoren

z . B

e_{2} = c - a f (e 2) = f (c) - f (a)

wenn du die Bilder der Standardbasis kennst sind das die Spalten der abbildenden Matrix.
Gruß ledum

roggenfaenger aktiv_icon

22:10 Uhr, 14.12.2014

Ich verstehe leider noch nicht, wie ich daraus eine "eindeutig bestimmte lineare Abbildung" definiere.

das wegen

f (b) = 2 f (d) - f (c) - f (a)

auch

b = 2 d - c - a

gelten muss, damit es linear ist, ist mir klar. Aber wie definiere ich "f"?

Nach Gast62 sollte doch

f (x, y, z) = (\begin{matrix} y \\ - x - z \end{matrix})

sein. Jedoch gilt das natürlich nur für Vektor

a

. Nicht für die anderen. Wie kriege ich

' f'

eindeutig definiert?

Im Anschluss soll ich dazu noch die Darstellungsmatrix finden, bzgl. Standardbasen

ℝ^{3}

und Standardbasen

ℝ^{2}

f (x, y, z) = (\begin{matrix} - \\ - \end{matrix})

Beispiellösungen
für Vektor

a : (\begin{matrix} y \\ - x - z \end{matrix})

für Vektor

b : (\begin{matrix} y + z \\ x \end{matrix})

für Vektor

c : (\begin{matrix} z \\ x + y \end{matrix})

für Vektor

d : (\begin{matrix} x + y - z \\ x \cdot y - z \end{matrix})

..wie vereinheitliche ich das?

Viele Grüße,

rf

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