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Lineare Abbildung eindeutig festlegen

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
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story

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14:08 Uhr, 29.11.2023

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Bekanntlich sind lineare Abbildungen durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig dargelegt.

Nun soll I eine Menge mit unendlich vielen Elementen sein, und ei jeweils die Abbildung, die i auf 1 und alle anderen Elemente von I auf 0 abbildet.

Es geht um lineare Abbildungen von KI (dem Vektorraum aller Abbildungen von I nach K) in einen K-Vektorraum V.
Es seien vi, i∈I, Vektoren aus V.

Nun soll gezeigt werden, dass man zwar immer eine lineare Abbildung findet, für die für alle i∈I gilt:

f(ei)=vi für alle i∈I,

dass diese lineare Abbildung aber NICHT eindeutig festgelegt ist.

Die Nicht-Eindeutigkeit lässt sich ja nur erklären, wenn die ei keine Basis von KI sind - und zugegeben, sie sind nichtmal ein wirkliches Erzeugendensystem, da manche Abbildungen von I nach K nur durch eine unendlich lange “Linearkombination” der ei dargestellt werden können. Ich könnte aber keinen konkreten Fall konstruieren, in dem zwei verschiedene lineare Abbildungen dennoch die Gleichung f(ei)=vi für alle i∈I erfüllen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

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17:09 Uhr, 29.11.2023

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Hallo,

vielleicht kennst du den Ausdruck des Trägers einer Abbildung?!
Der Träger einer Abbildung ist die Menge alle Elemente, deren Bilder NICHT Null sind.

Klar, dass jede endliche(!) Linearkombination aus ei auch nur einen endlich-dimensionalen Träger hat. (Kann man leicht herleiten.)

Was ist mit den Abbildungen mit unendlich-dimensionalem Träger?

Die Abbildung f wird ja nur für Elemente mit endlich-dimensionalem Träger mit einer Eigenschaft belegt.

Wie du richtig erkennst, sind die ei nur linear unabhängig, nicht aber Erzeugendensystem, insbesondere also keine Basis.
Daher kann man nicht erwarten, dass damit eine eindeutige Abbildung festgelegt werden kann.

Konkret muss man meiner Meinung nach nicht werden.
Vielleicht reicht es, erst einmal, eine größere linear unabhängige Menge anzugeben (mit Elementen mit unendlichem Träger, ein weiteres Element würde ja schon reichen).

Weiterhin gilt, dass es zu jedem Mapping Basiselemente ↦ Bilder eine eindeutige lineare Abbildung gibt, die die Basiselemente auf die "gemappten" Bilder abbildet.
Da du nun aber einen weiteren Freiheitsgrade hast, kannst du durch Wahl zweier unterschiedlicher Bilder für das Element, welches nicht zu den ei gehört, auch zwei verschiedene Abbildungen kreieren, die aber auf der Menge der ei übereinstimmen.

Klar soweit?

Mfg Michael
story

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18:52 Uhr, 29.11.2023

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Ja, vielen Dank, das hat schon mal sehr geholfen!

Vielleicht hilft es auch - wenngleich das ein zugegeben gefährlich naives Unterfangen ist -, die Situation mit dem endlichdimensionalen Fall zu vergleichen.

Ist dim(V)=n und f eine lineare Abbildung von V nach W, so gilt ja auch: Ist B eine Menge linear unabhängiger Vektoren aus V, jedoch kein Erzeugendensystem, so gibt es zwar eine lineare Abbildung, die jedes vi auf einen entsprechenden Wunschvektor wi abbildet, diese lineare Abbildung ist aber nicht eindeutig festgelegt.

Im endlich-dimensionalen Fall folgt dann ja recht schlicht, dass B weniger als n Elemente hat, und dass, wenn man B zu einer Basis von V ergänzt, man die Bilder der ergänzten Vektoren frei wählen kann.

Und im unendlich-dimensionalen Fall ist die Argumentation zwar schwieriger, aber die Argumentation “linear unabhängig, aber kein Erzeugendensystem und damit keine Basis” scheint entscheidend zu sein.

Danke nochmals!