Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

mathbirl aktiv_icon

17:06 Uhr, 20.11.2023

A ist eine

2 x 2

Matrix mit Zeilenvektoren

(1,1)

und

(0, - 1)

.
δΑ:

R^{2} \to R^{2},

δΑ(x) = Ax, ist eine lineare Abbildung mit

x

aus

R^{2}

.

Zuvor sollte ich beweisen, das die Komposiotion dieser Abbildung mit sich selbst id(R^2) ist. Das war kein Problem.

Nun sollte ich zunächst beweisen, das jedes

x

aus

R^{2},

eine eindeutige Darstellung

x = u + v

hat, mit δΑ(u)

= u &

δΑ(v)

= - v

.

Mein Ansatz ist: δΑ(u)

= u = (u 1, u 2) =

Au
& δΑ(v)

= - v = (- v 1, - v 2) =

\Rightarrow

δΑ(x) = δΑ(u

+ v) = A (u + v)

= . .

= (u 1 + u 2, - u 2) + (v 1 + v 2, - v 2) =

A (u 1, u 2) + A (v 1, v 2)

= A (u 1 + v 1, u 2 + v 2)

Nun δΑ(u)

+

δΑ(v) = Au

+

= A (u 1, u 2) + A (v 1, v 2) = A (u 1 + v 1, u 2 + v 2)

.

(Da wo überall A steht, soll die Matrix die zu Beginn gegeben war stehen)

Somit gilt δΑ(u)

+

δΑ(u) = δΑ(u

+ v) =

δΑ(x).

Wäre dieser Ansatz korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

17:31 Uhr, 20.11.2023

Hallo,

wenn ihr schon Eigenwerte und -vektoren zur Verfügung habt, würde es genügen zu zeigen, dass

- 1

und

+ 1

Eigenwerte von

A

sind.
Insbesondere sind nämlich Eigenvektoren zu verschiedenen(!) Eigenwerten der Matrix linear unabhängig, bilden also in diesem Fall eine Basis.

Habt ihr das schon, oder muss man (wie eher bei dir) umständlicher rechnen?

Auch so, finde ich, sieht man, dass

A (\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array})

und

A (\begin{array}{r} 1 \\ - 2 \end{array}) = - (\begin{array}{r} 1 \\ - 2 \end{array})

gelten.

Die Menge

{(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{r} 1 \\ - 2 \end{array})}

ist linear unabhängig, bildet also eine Basis.
Demnach besitzt jeder Vektor

x

eine Darstellung in dieser Basis.

Mfg Michael

mathbirl aktiv_icon

17:39 Uhr, 20.11.2023

Ne die Eigenvektoren hatten wir noch nicht.

Wäre denn aber meine Vorgehensweise auch korrekt, um diesen Satz zu zeigen?

michaL aktiv_icon

18:06 Uhr, 20.11.2023

Hallo,

ja, wäre er.
Er führt (bei konsequenter Verfolgung) zu Gleichungssystemen, die gelöst werden müssen. (Davon sehe ich bei dir noch nichts.)

Du machst dir die Sache einfacher, wenn du zunächst unabhängig von alledem zwei Vektoren

u

und

v

suchst (beide NICHT der Nullvektor), für die

A u = u

und

A v = - v

gelten. (Beispiele im letzten posting. Herleitung über Gleichungssysteme)

Desweiteren stelle dann fest, dass

{u, v}

eine Basis von

ℝ^{2}

ist, da

{u, v}

linear unabhängig ist. (Ich habe dein

R

als

ℝ^{2}

interpretiert. Korrekt?)

Denn dann muss jedes

x \in R^{2}

bzgl. dieser Basis eine Darstellung

x = λ_{x} u + μ_{x} v

haben.
Wegen

A \cdot λ_{x} u = λ_{x} u

und

A \cdot μ_{x} v = - μ_{x} v

hast du dann die gesuchten "

u

" und "

v

".

Lineare Unabhängigkeit und Basen hattet ihr aber schon, oder?

Mfg Michael

mathbirl aktiv_icon

21:01 Uhr, 20.11.2023

Alles klar, vielen Dank :-)

1578901

1578888

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?