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Lineare Abbildungen und Skalarprodukte

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

mathbirl aktiv_icon

10:36 Uhr, 04.12.2023

Die Aufgabe war:
Es sei

U \in R^{n},

ein linearer Untervektorraum der Dimension

m

& u1,…,u(m) eine Orthonormalbasis von

U

(u1,…,u(m) ist ein System von Vektoren).
Beweise für die Abbildung φ:

R^{n} \to R^{n}

mit
φ(x) = Sklrprdkt(u1,x)*u1

+

…

+

Sklrprdkt(u(m),x)*u(m) (Sklrprd(… , …) steht für Skalarprodukt, konnte hier diese Klammern nicht machen &

x

soll ein beliebiger Vektor sein), folgende Aussagen:
1. Es gilt Kern(φ)

= {x

aus

R^{n} |

Für alle

u

aus

U :

Sklrprdkt(u,x)

= 0}

2. Für alle

u

aus

U

gilt: φ(u)

= u

.

Ich habe mein Ansatz als Bild hochgeladen. Meine Frage wäre, habe ich es korrekt gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

12:05 Uhr, 04.12.2023

Hallo,

ich nehme an, dass manche Schreibweisen bei dir nicht ganz korrekt oder nicht eindeutig sind.
Kann es sein, dass es um

π_{U}

geht (also um das große

U

) geht?

Kann es weiter sein, dass du

\dots \overset{}{\Leftrightarrow} 〈 U, x 〉 = 0

geschrieben hast?

Vermutlich müsste da letztlich

\dots \overset{}{\Leftrightarrow} 〈 u, x 〉 = 0

für alle

u \in U

stehen.

Insgesamt zu 1): Ganz ordentlich (wenn man von den vermuteten Ungenauigkeiten absieht).
Ich denke, es ist schon wichtig zu erwähnen, dass

{u_{1}, \dots, u_{m}}

eine Basis von

U

zu sein hat (genau genommen reicht es, dass

{u_{1}, \dots, u_{m}}

linear unabhängig ist).
(Kann es sein, dass

{u_{1}, \dots, u_{m}}

orthogonal sein soll? Mir scheint vage, dass man ansonsten Gegenbeispiele konstruieren könnte.)
Damit steht das Argument, dass

〈 x, u_{1} 〉 u_{1} + \dots + 〈 x, u_{m} 〉 u_{m} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} 〈 x, u_{1} 〉 = \dots = 〈 x, u_{m} 〉 = 0

Mir fehlt noch ein kurzer Gedanke dazu, dass

〈 x, u 〉 = 0

für alle

u \in U

äquivalent ist dazu, dass

〈 x, u_{i} 〉 = 0

für alle

1 \leq i \leq m

gilt.
"

\Rightarrow

" ist trivial, da die conclusio vermeintlich schwächer ist.
In "

\Leftarrow

" steckt die Arbeit, die sich wieder darin erschöpft, dass

{u_{i}, \dots, u_{m}}

eine Basis von

U

ist.

2) reicht aus meiner Sicht nicht.
Selbst wenn

π_{U} (x) = 0

(per def) gälte, hätte man

π_{U} (π_{U} (u)) = π_{U} (x)

.

Du könntest in

π_{U} (u)

einfach

u = \sum_{k = 1}^{m} λ_{k} u_{k}

einsetzen.
Mit

〈 u_{i}, u_{j} 〉 = 0

(sofern

B_{U}

orthogonal ist), wäre das doch leicht gemacht...

Mfg Michael

mathbirl aktiv_icon

12:09 Uhr, 04.12.2023

Ja also ich meinte die Abbildung πU (PI mit Index

U,

welches ja der Unterraum ist), hab mich da vertan.
Und ja also u1,…,u(m) soll eine Orthonormalbasis von

U

sein.

Ich habe bei 2. nicht ganz verstanden, wie ich rs ansonsten hätte tun sollen.

michaL aktiv_icon

12:14 Uhr, 04.12.2023

Hallo,

berechne formal

π_{U} (\sum_{k = 1}^{m} λ_{k} u_{k})

.
Dazu nutzt du die Linearität von "

〈, 〉

" und die Orthogonalität von

{u_{1}, \dots, u_{m}}

.

Mfg Michael

mathbirl aktiv_icon

12:26 Uhr, 04.12.2023

Ich sehe das war das falsche, was ich hochgeladen habe mit der 2.

mathbirl aktiv_icon

12:32 Uhr, 04.12.2023

Danke aber, das hat geholfen :-)

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