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Lineare Abhängigkeit

Schüler

Tags: Lineares Gleichungssystem

anonymous

18:37 Uhr, 10.11.2012

Hallo,

die lineare Abhängigkeit von Vektoren kann man doch über lineare Gleichungssysteme ermitteln oder?

Also wenn ich überprüfen will, ob die Vektoren

a, b

und

c

linear anhängig sind muss ich folgendes System aufstellen:

\vec{a} = (\begin{matrix} 16 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})

\vec{c} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

\to

16 a + 3 b + 2 c = 0

- 4 a - 2 b = 0

3 a + 4 b - c = 0

oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

michael777 aktiv_icon

18:51 Uhr, 10.11.2012

der Ansatz ist richtig

dann gibts zwei Möglichkeiten:
das homogene LGS hat nur die Trivallösung

a = b = c = 0,

dann sind die Vektoren linear unabhängig

hat das LGS aber unendlich viele Lösungen (also eine Parameterlösung), dann sind die Vektoren linear abhängig. Das heißt einer Vektoren kann als Linearkombination der anderen beiden dargestellt werden

anonymous

18:58 Uhr, 10.11.2012

Okay...

also meine Lösungen lauten:

a = - \frac{1}{2}

b = 1

c = 2,5

Daraus kann man dann schon herleiten, das die Vektoren linear abhängig sein müssen. Denn

a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0

richtig?

Oder hab ich jetzt einen Denkfehler?

michael777 aktiv_icon

19:04 Uhr, 10.11.2012

du hast nur eine spezielle Lösung für

c = 2.5,

es gibt aber noch viele andere

das LGS hat folgende Parameterlösung mit Parameter

c :

a = - 0.2 c

b = 0.4 c

die Vektoren sind linear abhängig

anonymous

19:06 Uhr, 10.11.2012

Ok, wie kommst du auf deine Lösungen??

Ich stehe grade etwas auf dem Schlauch

michael777 aktiv_icon

19:08 Uhr, 10.11.2012

ich habe das LGS auf Stufenform gebracht
sobald es eine ganze Nullzeile gibt, hat das LGS mehrere Lösungen

Auf die genaue Lösung selbst kommt es nicht an, wenn man nur sagen soll, ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht. Es reicht, wenn man sieht, dass das LGS mehrdeutig lösbar ist.

in Matrix-Schreibweise:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 1 & - 0,4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

die dritte Spalte ist die Parameterspalte

anonymous

19:12 Uhr, 10.11.2012

Ok davon hab ich echt noch nie gehört :-)

Wie geht das??

michael777 aktiv_icon

19:16 Uhr, 10.11.2012

habt ihr bisher noch keine Gleichungssystem gelöst, bei denen es eine Parameterlösung gibt?
wie bist du zu deiner Lösung gekommen? Immerhin hast ja erkannt, dass es neben der Triviallösung

(a = b = c = 0)

auch noch andere Lösung(en) gibt

anonymous

19:23 Uhr, 10.11.2012

Nein, nicht das ich wüsste..

Naja ich hab das System durch umformen und einsetzen gelöst.
Weist du wie ich meine?

Also

z . B :

- 4 a - 2 b = 0

\Leftrightarrow - 4 a = 2 b

\to b = - 2 a

Dann hab ich Werte eingesetzt...

Doch

- 2 a

michael777 aktiv_icon

19:25 Uhr, 10.11.2012

durch das Einsetzen von Werten erhälst du dann halt nicht die Parameterlösung, sondern eine spezielle Lösung (also eine von vielen)

für den Nachweis der linearen Abhängigkeit reicht das aber

anonymous

19:28 Uhr, 10.11.2012

Ok, das heißt die Vektoren wären nur linear unabhängig, wenn ALLE Parameter

a, b, c

Null wären richtig?

michael777 aktiv_icon

19:32 Uhr, 10.11.2012

bei homogenen LGS (auf der rechten Seite der Gleichheitszeichen ist alles

0)

ist

a = b = c = 0

immer eine Lösung

gibt es aber nur die, dann sind die Vektoren linear unabhängig

gibt es aber noch weitere Lösungen, so wie bei den Gleichungen dieser Aufgabe, dann sind die Vektoren linear abhängig

anonymous

19:35 Uhr, 10.11.2012

Ok danke sehr!

Und linear abhängig bedeutet, das die Vektoren als offener Polygonzug dargestellt sind oder wie?

anonymous

20:09 Uhr, 10.11.2012

Kannst du mir nochmal die Lösung des LGS in Stufenform erklären?

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