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Lineare Abhängigkeit - ich bin durcheinander
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hallo Zusammen, ich bin durcheinander. Ich will prüfen, ob Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind. Bsp.: ich sehe natürlich, dass die Vektoren linear abhängig sind, denn 2x der erste = zweiter Vektor. Jetzt das LGS: Wenn ich die zweite Zeile umstelle, erhalte ich a = -2b. Jetzt setze ich a in die erste Zeile ein und erhalte 0=0 Aber das heißt doch, dass die Vektoren linear unabhängig sind, oder? Wo bekomme das 2x her?
Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, nein, das ist einfach nur eine wahre Aussage und sagt eigentlich nichts über die Lösungsmenge aus (bei einer genaueren Betrachtung eigentlich doch, das ist hier aber nicht so wichtig). Würdest du etwas herausbekommen wie , dann wäre das etwas anderes. Erstere Aussage ist immer richtig, egal, wie du und wählst. Genauso ist letzte Aussage immer falsch, egal wie du und wählst. Das würde bedeuten, dass dein Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Dies passiert z.B. bei dem Gleichungssystem . Dieses Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da beide Vektoren linear unabhängig sind. Du hingegen suchst die Lösung , und du bekommst heraus, dass sein muss (die Lösung der zweiten Gleichung ignorieren wir). D.h. egal wie du wählst, du findest immer ein , so dass die Gleichung erfüllt ist. Damit gibt es unendlich viele Lösungen und die Vektoren sind linear abhängig. Stellst du ein anderes LGS auf, wie z.B. , so erhälst du nur eine Lösung, nämlich . Auch dieses bedeutet lineare Abhängigkeit. Man muss also immer auf das LGS schauen, das es zu lösen gilt. Lieben Gruß Sina |
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Hallo, danke, für deine Erklärung. Ich fasse noch einmal zusammen: 0=0 gibt keine (direkte) aussage dazu, ob die Vektoren linear (un)abhängig sind. b =4a heißt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat --> linear abhängig b=0 -> a=0 heißt, dass das LGS nur die triviale Lösung hat --> linear unabhängig b=2, a=0 heißt, dass das LGS genau eine Lösung (2|0) hat --> linear abhängig
Gibt es noch andere Zustände? |
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Also, zeigt dir, dass die Vektoren linear abhängig sind, denn es zeigt dir, dass das Gleichungssystem nicht nur genau eine Lösung hat (nämlich die triviale mit lauter Nullen), sondern unendlich viele, also auch mindestens eine nichttriviale Lösung. Und das ist ja die Definition von linear abhängig. Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie sich nichttrivial zum Nullvektor kombinieren lassen. Grüße |
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Hm, also wie ich das meinte: WENN man ein Lineares Gleichungssystem (LGS) hat mit Gleichungen und Unbekannten. Dann sagt einem die Gleichung , dass es unendlich viele Lösungen gibt, weil sozusagen eine Gleichung wegfällt und Gleichungen mit Unbekannten übrig bleiben. In diesem Fall heißt das, dass die Vektoren linear abhängig sind. Falls ihr schon mit Koeffizientenmatrizen gerechnet habt: Die Gleichung sagt aus, dass sich in der Koeffizientenmatrix beim Umformen in die Zeilenstufenform eine Nullzeile bildet. Aber, bei dem simplen LGS erhälst du auch eine Zeile mit . Das sagt in diesem Fall aber nichts über die Lösungsmenge aus, denn die ist in diesem Fall leer (die Vektoren sind linear unabhängig). Die Aussagekraft von hängt also immer vom LGS ab, das ich untersuche. Der Unterschied von diesem LGS zu deinem ist nämlich: a) Ich habe 3 Gleichungen und eine Unbekannte b) Es ist nicht homogen (d.h. ich versuche einen Nicht-Nullvektor zu konstruieren) Stellt man daher das LGS in der Form auf, so kann ich mich mathemaus999 voll anschließen, dann sagt dir die Zeile , ja die Vektoren sind linear abhängig. Seid mir nicht böse wegen der Haarspaltereien, aber ich bin bei generalisierten Aussagen immer lieber etwas vorsichtig ;-) Schönen Tag noch! |
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