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Lineare Abhängigkeit im Körper F2.

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Vektorräume

Tags: f2, Lineare Abhängigkeit, Raum, Vektorraum

kilian1993 aktiv_icon

17:26 Uhr, 21.02.2013

Hallo :)

ich hoffe Ihr k�nnt mir bei meinen Fragen weiterhelfen.

Ich soll folgende Vektoren auf lineare Abh�ngigkeit/Unabh�ngigkeit �berpr�fen:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) \in F_{2}^{3}$

Also rechne ich einfach die Determinante aus:

$\det (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) = 2 \neq 0 \Rightarrow$ normalerweise folgt, dass die Vektoren linear unabh�ngig sind wenn wir uns in $R^{3}$ befinden.

Da wir uns aber im K�rper $F_{2}$ befinden gilt:

$\det (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) = 2 = 0 i n F_{2}$ .

Meine Frage: Wieso ist das so? Wieso wird die Determinante von 2 zu 0 in $F_{2}$ ? Und was ist $F_{2}$ �berhaupt f�r ein K�rper? Was ist an dem so besonders?

Hoffe Ihr k�nnt mir helfen :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

01:24 Uhr, 22.02.2013

F_{2}

ist der Restklassenkörper modulo 2.

F_{2}

besteht aus der Menge

{0, 1}

mit den Verknüpfungen "

\cdot

" und "

+

", so dass gilt:

0 \cdot 0 = 0

0 \cdot 1 = 0

1 \cdot 0 = 0

1 \cdot 1 = 1

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Daher ist die Determinante in diesem Fall auch 0.
Normalerweise ist man gewohnt, dass

1 + 1 = 2

gilt. In diesem Fall gilt jedoch

1 + 1 = 0

. Die

2 \in ℝ

entspricht daher in etwa der

0 \in F_{2}

. Besser ist jedoch (meine Meinung) direkt, das ohne 2 zu schreiben, da

2 \notin F_{2}

und

1 + 1 = 0 \neq 2 :

det (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 1 = 1 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 0

kilian1993 aktiv_icon

12:25 Uhr, 22.02.2013

Hallo kenkyu

vielen Dank für deine Antwort.

Noch mal zur Verständlichkeit... wenn die Determinante einer Matrix in $F_{2}$ gleich 1 ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Ist die Determinante gleich 0 sind sie linear abhängig und ist die Determinante gleich 2, 4, 99, usw. wird sie in $F_{2}$ immer zu 0, so dass die Vektoren wieder linear abhängig sind?

anonymous

13:07 Uhr, 22.02.2013

Bei 0 und 1 stimmt das, was du heschrieben hast.

Eigentlich kann die Determinante in

F_{2}

nicht

2, 4, 99

usw. werden, da diese Zahlen gar nicht in

F_{2}

enthalten sind, sondern eben nur 0 und 1.

Allerdings kann man folgendes sagen: Anstatt in

F_{2}

zu rechnen, kann man zunächst, wie gewohnt mit rationalen Zahlen rechnen und dann das Ergebnis umrechnen.

Würde man nun eine 4 (oder eine beliebige andere gerade Zahl) erhalten, so hätte diese bei einer Division durch 2 den Rest 0. Damit entspräche die

4 \in ℚ

(oder eine beliebige andere gerade Zahl) einer

0 \in F_{2}

.
Hätte man nun eine

99

(oder eine beliebige andere ungerade Zahl) so hätte man bei Division durch 2 den Rest 1. Damit entspräche die

99 \in ℚ

(oder eine beliebige andere ungerade Zahl) einer

1 \in F_{2}

.

Warum darf man das eigentlich überhaupt?

Es existiert folgender Körper-Homomorphismus:

Φ : ℚ \to F_{2}, \frac{a}{b} \mapsto (a mod 2) \cdot {(b mod 2)}^{- 1}

wobei

a, b \in ℤ

sein sollen.

Eingeschränkt auf ganze Zahlen würde sich der folgende Ringhomomorphismus ergeben:

Φ |_{ℤ} : ℤ \to F_{2}, k \mapsto k mod 2

Mit Hilfe dieser strukturerhaltenden Abbildung, funktioniert also eine Art Umrechnung von

ℚ

nach

F_{2}

. Denn es gilt:

Φ (λ \cdot x + y) = λ \cdot Φ (x) + Φ (y)

Und hier evtl. noch wichtig:

Φ (1) = 1

und

Φ (0) = 0

Daher ist es egal, ob man zuerst in

ℚ

rechnet und dann abbildet, oder zuerst abbildet und dann in

F_{2}

rechnet.

Wenn man also durch Rechnung in

ℚ

die Zahl

99

als Determinante erhalten würde, so entspräche diese in

F_{2}

der Zahl

Φ (99) = 99 mod 2 = 1

somit wäre die Matrix über

F_{2}

invertierbar und die Vektoren über

F_{2}

linear unabhängig.

kilian1993 aktiv_icon

13:20 Uhr, 22.02.2013

Super, das war die Antwort die ich gebraucht habe! Jetzt hab ich's verstanden.

Vielen Dank :)

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