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Lineare Abhängigkeit im Restklassenkörper

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

FabianVu aktiv_icon

02:31 Uhr, 12.12.2015

Moin!

Ich bin bei folgender Aufgabe etwas verwirrt. Also die Aufgabenstellung ist:

Finden sie einen endlichen Körper

K,

sodass die Vektoren

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

im Vektorraum K³ linnear abhängig sind. Dazu habe ich mir einen Restklassenkörper überlegt. Nur das Problem ist, dass es für

λ_{1} \cdot v_{1} + λ_{2} \cdot v_{2} + λ_{3} \cdot v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

mit

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

in einem Restklassenkörper nur eine von 0 verschiedene Lösung für die

λ s

gibt, wenn es der Restklassenkörper von einer geraden Zahl ist. Ein Restklassenring ist ja nur ein Restklassenkörper wenn für

Z_{n} n

eine Primzahl ist. Somit kommt nur

Z_{2}

infrage. Nur dass Problem ist, dass die Einträge der Vektoren nicht in der Menge

Z_{2}

liegen. Dürfte man da dann

Z_{2}

als Restklassenkörper verwenden oder nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:37 Uhr, 12.12.2015

"Dürfte man da dann Z2 als Restklassenkörper verwenden oder nicht?"

Ich würde sagen: ja. Sonst ist keine Lösung möglich.

FabianVu aktiv_icon

16:47 Uhr, 12.12.2015

Alternativ könnte man auch einen anderen Körper verwenden, nur mir fällt da keiner ein. Oder darf man da die Vektoren auch kürzen? Oder kann man sogar begründen dass die Einträge nicht in