Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lineare Abhängigkeit (mehr Variablen als Vektoren)

Lineare Abhängigkeit (mehr Variablen als Vektoren)

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Gauß Verfahren, Lineare Abhängigkeit, Lineare Unabhängigkeit, Matrix, Vektor

1-1ist3 aktiv_icon

14:57 Uhr, 20.12.2016

Hi,

es sind 2 Vektoren gegeben:

a = (\begin{array}{rcl} 5 \\ 1 \\ 13 \end{array})

b = (\begin{array}{rcl} 10 \\ 3 \\ 26 \end{array})

,

Es soll nun bestimmt werden, ob a und b abhängig zueinander sind. Bis jetzt habe ich nur aufgaben gelöst, in denen es gleich viele Vektoren wie Variablen gab, und dann nach dem Prinzip: Nullzeile = abhängig, keine Nullzeie = unabhängig. Funktioniert das hier genauso?

(\begin{array}{rcl} 5 & 10 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 13 & 26 & 0 \end{array})

umformen mit Gauß -->

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

Hier ergibt sich eine Nullzeile, also würde ich sagen die beiden Vektoren sind linear abhängig. Was wäre aber, wenn in der 3. Zeile etwas stehen würde, zb:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

Was würde das für die Abhängigkeit bedeuten, wenn 2 Zahlen in der Matrix übereinanderstehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

barana aktiv_icon

15:37 Uhr, 20.12.2016

Zwei Vektoren sind linear abhängig,wenn sie Vielfaches voneinander sind.Das sind die beiden Vektoren nicht.
Gruß barana

Apilex aktiv_icon

15:41 Uhr, 20.12.2016

du darfst nicht einfach den Nullvektor mit dazu nehmen und dann Gauß anwenden den der Nullvektor ist ja zu jeden anderen Vektor linearabhängig

\to

da muss also für jeden Vektor eine Nullzeile entstehen

\to

die Nullzeile die mit dem Gaußalgorythmus bei hinzunahme von dem Nullvektor entsteht sagt also nichts aus.

Deshalb der allgemeine Ansatz zur prüfung von linearer unabhänigkeit

vektoren

u, v, w

sind genau dann linearunabhängig wenn

λ_{1} \cdot u + λ_{2} \cdot v + λ_{3} \cdot w = 0

nur eine Lösung hat mit

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} \in ℝ \to

nähmlich die triviale Lösung

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

(analog bei zwei vektoren

λ_{1} \cdot u + λ_{2} \cdot v = 0) \to

oder auch äquivalent

: 1 \cdot u + λ_{2} \cdot v + λ_{3} \cdot w = 0

hat genau eine LÖsung

das heißt in deinem Fall einfach Ansatz:

λ_{1} \cdot u + λ_{2} \cdot v = 0

und dann für jede KOmponente erhältst du eine Gleichung ( sei

u := (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})

und

v := (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}))

(I)

λ_{1} \cdot u_{1} + λ_{2} \cdot v_{1} = 0

(II)

λ_{1} \cdot u_{2} + λ_{2} \cdot v_{2} = 0

(III)

λ_{1} \cdot u_{3} + λ_{2} \cdot v_{3} = 0

\to

das Gleichungssystem lösen

\to

zeigen das nur

λ_{1} = λ_{2} = 0

Lösung ist

Bei zwei vektoren

v, w

ist es aber noch viele einfacher zu sehen wann sie linearunabhängig sind

\to

nähmlich genau dann wenn

v

kein Vielfaches von

w

ist

\Rightarrow

Für alle

λ \in ℝ

gilt

w \neq v \cdot λ

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1344785

1344771

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?