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Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren im R^2

Schüler

Tags: Frage

Christian- aktiv_icon

06:49 Uhr, 26.05.2016

Moin ihr Süßen,

laut der Definition sind drei oder mehr Vektoren stets linear abhängig. Linear abhängig sind Vektoren, wenn sie parallel oder Vielfache voneinander sind.
So, und das verstehe ich nicht ganz. In meinem Bildmaterial habe ich drei Vektore aufgezeichnet , die per Auge keine Parallelität aufweisen und auch nicht Vielfache voneinander sind. Aber laut der Definition müssen sie parallel oder Vielfache voneinander sein, damit sie als linear abhängig gelten. Ist irgendwie ein Paradoxon.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

09:05 Uhr, 26.05.2016

Deine angesprochene Definition von

l . a

bzw

l . u

. ist bezüglich Parallelität zu eng gefasst.
Es gilt:
Eine endliche Familie

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, ..., \vec{v_{n}}

von Vektoren aus einem Vektorraum

V

heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

a_{1} \cdot \vec{v_{1}} + a_{2} \cdot \vec{v_{2}} + ... + a_{n} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

mit Koeffizienten

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

aus dem Grundkörper

K

diejenige ist, bei der alle Koeffizienten

a_{i}

gleich null sind. Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Das impliziert, dass drei Vektoren in

ℝ^{2} (i . d . R .)

immer

l . a

. sind.

Femat aktiv_icon

09:12 Uhr, 26.05.2016

Die 3 Vektoren in deiner Zeichnung sind linear abhängig.

Dein erster Satz gilt für DREI oder MEHR.

Dein zweiter Satz gilt für ZWEI Vektoren.

Christian- aktiv_icon

09:23 Uhr, 26.05.2016

Danke bis hier hin... ich brauche bisschen Zeit, bis ich eure Sachen gelesen habe und verstanden habe..

Femat aktiv_icon

09:29 Uhr, 26.05.2016

Vielleicht hilft das:

http//www.mathebibel.de/lineare-abhaengigkeit-drei-vektoren

und befolge den Rat, der dort steht, sich über Linearkombinationen schlau zu machen.

Christian- aktiv_icon

09:32 Uhr, 26.05.2016

Das habe ich mir schon längst angeschaut und nicht verstanden, was es mit den 3 oder mehr Vektoren aufsich hat. Sonst habe ich auf dieser Seite sehr vieles verstanden danke.

Nach wie vor muss ich noch das verstehen, was ihr mir geschrieben habt, und brauche deswegen noch Zeit das zu verstehen.

ledum aktiv_icon

11:49 Uhr, 26.05.2016

Hallo
aus 2 Vektoren in der Ebene kannst du jeden anderen "herstellen, indem du Vielfache des einen zu einem vielfachen des anderen addierst.
dann heissen die 2 ersten Vektoren lin. unabhängig, der dritte ist davon linear abhängig.
alle drei heissen dann lin abhängig, aus je 2 kannst du den dritten machen. probier es mal mit einer Zeichnung, oder Rechnung!
Beispiel

(1,2) (2,3)

und

(4,7)

sind linear abhängig
denn

a \cdot (1,2) + b \cdot (2,3) = (4,7)

führt zu den Gleichungen

a \cdot 1 + b \cdot 2 = 4

a \cdot 2 + b \cdot 3 = 7

die man lösen kann.
statt

(4,7)

kannst du jeden anderen Vektor in der ebene nehmen.
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

15:18 Uhr, 27.05.2016

Moin ,

so ich werde versuchen unabhängig auf euch zuzugehen.

Respon:

,,Deine angesprochene Definition von

l . a

bzw

l . u

. ist bezüglich Parallelität zu eng gefasst.''
PS: Ich beziehe mich NUR auf

ℝ^{2}

und auf keinen anderen Vekorraum, da ich mich im

ℝ^{2}

bewege, und sich auf diese meine Frage konzentriert.

Okey, dann heißt es, dass eine weitere oder mehrere Eigenschaften der linearen Abhängigkeit gibt in Bezug auf die Vektorräume. Alles klar. Diesen Satz hab ich verstanden.

- - - - -

,,Eine endliche Familie

{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2} ..., {\vec{v}}_{n} ...''

Ja, also Vektore, die endlich vorhanden sind aus einem Vektorraum V. Der Buchstabe ist mir neu, den ich nicht gewusst habe.Ich habe diesen Satz auch verstanden. Das die Linearkombination den Nullvektor ergeben muss, wusste ich schon. Das ist mir schon längst klar gewesen. Nur wenn es so ist, herrscht eine lineare Unabhängigkeit.

- - - -

,,mit Koeffizienten a_1,a_2,...,an aus dem Grundkörper

K

diejenige ist, bei der alle Koeffizienten

a_{i}

gleich null sind.''

Ich weiß, was Koeffizienten sind. Grundkörper weiß ich nicht, was das ist, hängt aber mit den Koeffizienten zusammen, das ist erstmal wichtiger.
Ich dachte, dass man für die Koeffizienten in einem

ℝ^{2}

Raum NICHT Null setzen darf, weil dies von vornerein klar ist, was passiert. Es kommt der Nullvektor. Deswegen verstehe ich das jetzt nicht, was du meinst.

,,Das impliziert, dass drei Vektoren in

ℝ^{2} (i . d . R .)

immer

l . a

. sind.''
Mathematisch muss ein Nullvektor herauskommen, dass es dann zu einer linearen Abhängigkeit kommt, das war mir klar. Jedoch beantwortet es nicht meine Frage, die ich so gestellt habe, indem ich eine ZEICHNUNG anfertigen ließ, bei der mir die Situation unklar gewesen ist, weshalb alle 3 Vektoren linear abhängig sind in einem

ℝ^{2}

Raum. Sie sollen ja parallel sein und Vielfache voneinander, sodass diese linear abhängig sind. Da in meiner Zeichnung diese weder Parallel noch Vielfache voneinander sind, sind sie nicht linear Abhängig. Kannst du deswegen auf meine Zeichnung eingehen?

Sonst danke, das mit dem Grundkörper und mit den Koeffizienten, dass sie Null sein dürfen, damit eine

l . a

kommt, war mir neu.

Christian- aktiv_icon

15:25 Uhr, 27.05.2016

Hei Femat,

danke für deine Zeichnung, die du anfertigen ließt. Das hilft mir sehr enorm und du gehst auf meine Zeichnung ein, das finde ich gut.

,,Die 3 Vektoren in deiner Zeichnung sind linear abhängig.

Dein erster Satz gilt für DREI oder MEHR.

Dein zweiter Satz gilt für ZWEI Vektoren.''

Warum gilt mein erster Satz für DREI oder MEHR Vektoren?
Aha, also bei nur zwei Vekotren ist die Definition anders. Aha, das leuchtet ein. Bloß, warum ist das so? Woher hast du die Information, dass es so ist? Woher weißt du, dass du mit 3 Vektoren in einem

ℝ^{2}

einfach einen Dreieck bilden kannst, und Woher weißt du, dass du die Vektoren stücklen darfst, sodass dann eine Vielfachmenge entsteht? Wieso darf man das? Wo steht das?

Ansonsten hilft mir dein Beitrag.

Christian- aktiv_icon

15:31 Uhr, 27.05.2016

Hei ledum,

danke für deine Mühe.

,,Hallo
aus 2 Vektoren in der Ebene kannst du jeden anderen "herstellen, indem du Vielfache des einen zu einem vielfachen des anderen addierst.

Woher hast du die Information, dass man es darf? Nehmen wir mal an, dass ein Vektor die Länge 5 LA hat, der andere

5,1

LA hat und der 3. 5,2LA. Wie soll ich dann aus diesen Viefache herausbekommen. Das geht doch gar nicht.

Rechnerisch ist mir die Sache klar. Es muss bei einer linearkombination der Nullvektor herauskommen. Ich verstehe nicht, wieso man plötzlich bei 3 oder mehr Vektoren stückeln darf und wieso man Dreiecke bilden darf.

Femat aktiv_icon

16:02 Uhr, 27.05.2016

Schau hier:

http//www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/lineare_abhaengigkeit.htm

ledum aktiv_icon

16:02 Uhr, 27.05.2016

Hallo
Es gibt nichts Gutes, ausser man tut es.

z

B

wähle 2 nicht parallele Vektoren

v 1 = (1,2) v 2 = (2,3) z - B

. ich will einen Vektor

v 3 = ((7,4)

daraus herstellen.

a)

kannst du das zeichnen- probier es

b

kannst du das rechnen

a \cdot v 1 + b \cdot v 2 = v 3

also

a \cdot 1 + b \cdot 2 = 7

a \cdot 2 + b \cdot 3 = 4

bestimme

a, b

fertig.
auf die Beträge kommt es dabei nicht an

v 1

hal LE

\sqrt{5}, | v_{2} | = \sqrt{13}; = | v 3 | = \sqrt{65}

probier mal selbst mit anderen Vektoren!
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

20:34 Uhr, 28.05.2016

Ich versuche es.

Christian- aktiv_icon

09:01 Uhr, 29.05.2016

hei ledum,

also ich habs versucht,

Also heißt es so:

3 Vektore sind linear abhängig, wenn sie sich in einer Ebene befinden.
Man kann aus 2 Vektoren einen 3 Herstellen, und deswegen sind sie linear abhängig, richtig?

Respon

09:06 Uhr, 29.05.2016

\to

Zitat "PS: Ich beziehe mich NUR auf

ℝ^{2}

und auf keinen anderen Vekorraum, da ich mich im

ℝ^{2}

bewege, und sich auf diese meine Frage konzentriert."

Christian- aktiv_icon

09:08 Uhr, 29.05.2016

Hei Respon, ich verstehe nicht, was das zu bedeuten hat.

Respon

09:09 Uhr, 29.05.2016

Wenn du dich nur auf

ℝ^{2}

beziehst, dann müssen ja alle Vektoren in einer Ebene liegen.

Christian- aktiv_icon

09:16 Uhr, 29.05.2016

Das ist richtig, ja.

ledum aktiv_icon

13:29 Uhr, 29.05.2016

Hallo
dein Satz :"3 Vektore sind linear abhängig, wenn sie sich in einer Ebene befinden.
Man kann aus 2 Vektoren einen 3 Herstellen, und deswegen sind sie linear abhängig, richtig?"
ist so falsch.
aus 2 linear unabh V. in

ℝ^{2}

kann man JEDEN anderen linear kombinieren ist richtig. deshal sind

3 V \in ℝ^{2}

immer linear abh.
versuch dasselbe in

ℝ^{3}

da sind

4 V

immer lin. abh.
sich zu lange nur im

ℝ^{2}

zu bewegen und zu denken, ist für lineare Algebra schlecht.
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

17:56 Uhr, 29.05.2016

Hmm... okey, danke.

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