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Lineare Algebra

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Tags: Abbildung, abelsch, Gruppen, gruppenmorphismus, Leere Menge, trivial

schnabel110 aktiv_icon

21:39 Uhr, 17.11.2012

Hallo, ich weiß nicht so genau wie ich diese Aufgabe aufs Blatt bekomme.

a)

Sei

G

eine Gruppe, sodass ord(x)=2, für alle Elemente x∈G-

{

e}.
Beweisen Sie dass

G

abelsch ist.

b)

Beweisen Sie, dass es keine nicht-triviale Gruppenmorphismen gibt
∅:(ℤ/nℤ+)→(ℤ,+).

Der rechnerische Beweis fällt mir einfach sehr schwer.
Danke schonmal für Hilfreiche Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

chrischen91 aktiv_icon

13:45 Uhr, 18.11.2012

Mir geht es bei der Aufgabe leider genauso.
Ich weiß auch leider nicht, was genau ord(x)=2 sein soll.
Vielleicht hilft es ja, wenn man das schon einmal wüsste.

michaL aktiv_icon

15:53 Uhr, 18.11.2012

Hallo,

ord bezeichnet die Ordnung eines Elementes. Schreibt man die Gruppenoperation multiplikativ, dann ist es diejenige Potenz, bei der zum ersten Mal das neutrale Element herauskommt. In diesem Fall gilt also (wieder multiplikativ):

x^{2} = e

für alle

x \in G \ {e}

, wobei

G

die Grundmenge der Gruppe sei.

Um es mal so zu formulieren: Die Ordnung von

(a b)

ist dann ja auch 2 (

a, b \in G

beliebig). Macht doch da mal was draus!

Zu b): Was heißt "trivial" im Zusammenhang mit Homomorphismen? Und umgekehrt, wenn man annimmt, es gäbe einen nicht trivialen Homomorphimus, dann ...

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

16:51 Uhr, 18.11.2012

"Zu b): Was heißt "trivial" im Zusammenhang mit Homomorphismen? Und umgekehrt, wenn man annimmt, es gäbe einen nicht trivialen Homomorphimus, dann ..."

Ich hoffe ich darf mich mal wieder einmischen mit ein paar Ideen:

Habe länger gegoogled:

Es heißt trivial, wenn alle

x \in (ℤ / n ℤ)

auf das neutrale Element der Zielgruppe abbilden? Also in diesem Fall wegen

(ℤ, +)

die Null?

Ich versuche mir das irgendwie so vorzustellen (die Schreibweisen sind bestimmt falsch):

Die Form des Homomorphismus allgemein:

ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) ?

Unserer spezieller Homomorphismus hier:

\overline{a} + \overline{b} = a + b ? ?

Und die Behauptung ist:

\overline{a} + \overline{b} = 0

für alle

\overline{a}, \overline{b} \in (ℤ / n ℤ) ?

Das stimmt doch aber nicht.., oder?

jamang aktiv_icon

11:33 Uhr, 19.11.2012

Interessiert euch die Antwort nicht mehr!?!?!

Mich schon! *push*

michaL aktiv_icon

12:02 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

ja, ein trivialer Homomorphismus bildet auf das neutrale Element ab.

Wenn es nun einen nicht trivialen Homomorphismus gibt, dann ...

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

12:31 Uhr, 19.11.2012

...dann bildet er nicht auf das neutrale Element ab?

Und das geht doch auch!

Bsp: Sei Z/5Z, also n=5.

\overline{3} + \overline{1} = \overline{4}

und

ϕ (\overline{4}) = 4 .

\neq 0 .

Was verstehe ich falsch?

michaL aktiv_icon

12:34 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

keine Ahnung.

Wenn der Homomorphismus nicht trivial ist, dann gibt es ein Element

x \in ℤ_{n}

, für das

φ (x) \neq 0

gilt.

Daraus kann man einen Widerspruch konstruieren.

Mfg Michael

EDIT:Typo

jamang aktiv_icon

12:57 Uhr, 19.11.2012

Was ist denn

Z_{n}

für eine Menge? Ist das eine verkürzte Schreibweise für dieses

Z / n Z

?

Man und ich dachte ich hätte Morphismen langsam ein wenig verstanden... das ist echt traurig.

jamang aktiv_icon

13:03 Uhr, 19.11.2012

Wenn ich verstehe was du meinst, soll ich zeigen, dass das neutrale Element der ersten Gruppe nicht auf das neutrale Element der Zielgruppe abbildet?

Und wenn das so ist, dann kann es kein Morphismus sein.

Reicht es dann zu schreiben:

Gegenbsp:

Sei n=5

\overline{3} + \overline{2} = \overline{0}

Aber

ϕ \overline{3} + ϕ \overline{2} = 3 + 2 \neq 0

michaL aktiv_icon

13:04 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

ja, ich habe

ℤ_{n}

als verkürzende Schreibweise für

ℤ / n ℤ

kennen gelernt.

Man kann auch direkt beweisen, dass aus der Homomorphismus-Eigenschaft für

φ : ℤ_{n} \to ℤ

folgt, dass

φ (1) = 0

gilt.
Daraus folgt ja dann wohl, dass

φ

trivial ist, da

ℤ_{n}

eine zyklische Gruppe und 1 ein Erzeuger ist.

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

13:09 Uhr, 19.11.2012

Warum ist

ϕ (1) = 0 ?

michaL aktiv_icon

13:10 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

weil es nur den trivialen Homomorphismus gibt.
Oder:
Weil alle anderen Annahmen zum Widerspruch führen!

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

13:22 Uhr, 19.11.2012

Ich denke

ϕ

macht, dass ein Element der Restklasse zu der entsprechenden ganzen Zahl wird (in unserem Beispiel)?

Also dass ein Homomorphismus von Z/nZ -> Z bedeutet, dass

ϕ (\overline{a}) + ϕ (\overline{b}) = a + b

Deshalb verstehe ich nicht, weshalb

ϕ (\overline{1}) = 0

sein soll. Es müsste gleich 1 sein.

michaL aktiv_icon

13:26 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

dann berechne doch bitte der Reihe nach

φ (\overline{2})

φ (\overline{3})

, ...,

φ (\overline{n - 1})

φ (\overline{n}) = φ (\overline{0})

Dann siehst du schon!

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

13:36 Uhr, 19.11.2012

ϕ (\overline{2}) = 2

ϕ (\overline{3}) = 3

ϕ (\overline{4}) = 4

ϕ (\overline{n - 1}) = n - 1

ϕ (\overline{n}) = ϕ (\overline{0}) =

entweder

n

oder

0

, weiß ich nicht.

mafi02 aktiv_icon

14:13 Uhr, 19.11.2012

Betrachte

φ (\bar{1}) = x

wobei x ein bel. Element aus Z ist.
In Z/nZ gilt:

\bar{0} = n * \bar{1} = \bar{1} + . . . + \bar{1}

(n-mal)
Wende nun

φ

auf diese Gleichung an.

jamang aktiv_icon

14:21 Uhr, 19.11.2012

Hi,

ϕ (\overline{0}) = ϕ ({\overline{1}}^{n}) = 0 = 1^{n}

Meinst du sowas? Sehe nicht, was mir das alles sagen soll.

mafi02 aktiv_icon

14:43 Uhr, 19.11.2012

Hi
wir betrachten in diesem Fall die Addition als Verknüpfung.
Du weisst das ein Homomorphismus das neutrale Element von Z/nZ auf das enutrale Element von Z abbildet. In Formeln heißt das:

φ (\bar{0}) = 0

Also gilt

0 = φ (\bar{0}) = φ (n * \bar{1}) = φ (\bar{1} + . . . + \bar{1}) = φ (\bar{1}) + . . . + φ (\bar{1}) = x + . . . + x = n * x

was muss nun für x gelten, damit diese Gleichung erfüllt ist?

Gruß mafi

jamang aktiv_icon

17:49 Uhr, 19.11.2012

Danke soweit.

Ich weiß nicht, was für x gelten müsste. Was soll den

n * 1

heißen? Ist es nicht in diesem Fall

n \cdot 1

?

Ich vermute, ihr wollt sagen, dass sie nur erfüllt ist, wenn x null ist. Weil nur wenn x null ist, kann x+x+x+.....+x in den ganzen Zahlen Null werden.

Aber mein Verständnis setzt an der dieser Stelle aus:

ϕ (1)

ist gleich

1

. Das ist doch fest! Das suche ich mir doch nicht aus, oder?

Man kann sich das x ja nicht aussuchen.

michaL aktiv_icon

17:56 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

nein,

φ (\overline{1}) = 1

muss nicht sein. Kann ja sogar gar nicht, sofern

φ

ein Gruppenhomomorphismus sein soll.

Ob aber nun

φ (\overline{1}) = 1

oder

φ (\overline{1}) = x \neq 0

gilt, spielt keine Rolle. Daraus folgt stets ein Widerspruch!

Mfg Michael

mafi02 aktiv_icon

18:02 Uhr, 19.11.2012

Hi
Wir betrachten hier einen Gruppenhomomorphismus von (Z/nZ,+)-->(Z,+) mit den neutralen Elementen

\bar{0} b z w . 0

. Für einen Gruppenhomomorphismus ist erstmal nur gefordert dass das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet wird.
Für einen Ringhomomorphismus zwischen Ringen mit 1 muss zusätzlich noch die 1 auf die 1 abgebildet werden.

Mit

n * 1

meinte ich natürlich

n \cdot 1

, aber du hast schon richtig erkannt, dass damit

x = 0

gelten muss und damit

φ (1) = 0

jamang aktiv_icon

18:32 Uhr, 19.11.2012

Tut mir echt leid, aber ich versteh nicht, was ihr mir erklärt. Vielleicht bin ich zu dumm. Ich vermute da stecken bei euch Annahmen drin, die ihr nicht mitschreibt, weil ihr denkt, dass ich sie wissen müsste, oder so...

Ich will es aber verstehen!

Also nochmal von vorne:

Beweisen Sie, dass es keine nicht-triviale Gruppenmorphismen gibt
∅:(ℤ/nℤ+)→(ℤ,+).

Angenommen es gäbe einen nicht-trivialen Gruppenmorphismus (=Gruppenhomomorphismus?). D.h. wir nehmen an, dass es mögliche

\overline{x}

gibt, die nach

ϕ

nicht

0

werden und führen das auf einen Widerspruch.

Also soll es

ϕ (\overline{x}) \neq 0

geben. Also soll ich zeigen, dass das nicht möglich ist, weil jedes beliebige

\overline{x}

über

ϕ

zu der ganzen Zahl

0

wird.

Nun, wenn ich aber z.b.

\overline{3}

einsetze, erhalte ich

ϕ (\overline{3}) = 3 .

Das ist aber nicht Null. Also gibt es einen nicht-trivialen Gruppenhom.!!!!

Damit ist doch mein Gegenbeweis schon gescheitert?

Wenn n=102 und ich

ϕ (\overline{100}) + ϕ (\overline{1})

wähle, dann ergibt das

101

. Auch ungleich Null. Und weiter oben habe ich noch die Bespiele für die Restklassenmengen 2,3,4 usw. gemacht. Alle ungleich null...

Das

ϕ

ist doch wie eine Funktion, oder? Und die Funktion liefert für jeden x-Wert den y-Wert, und in unserem Falle ist der y-Wert die ganze Zahl.

--Welcher-- dieser o.a. Sätze ist falsch und bitte erklärt: Warum?

Problematisch ist, das sehe ich ein:

ϕ (\overline{0}) = ϕ (\overline{n})

, da in der Menge der ganzen Zahlen

n \neq 0

.

Aber was hat das mit der Ausgangsfrage zu tun?

mafi02 aktiv_icon

19:14 Uhr, 19.11.2012

Hi
Gruppenuppenhomomorphismus bedeutet in erster Linie strukturerhaltende Abbildung,d.h.

φ (a + b) = φ (a) + φ (b)

, das heißt nicht, dass

φ (\bar{1}) = 1

gelten muss.
Nur das neutrale Element der Gruppe wird von

φ

auf das neutrale Element der Zielgruppe abgebildet.

Dein Bsp.

φ (\bar{i}) = i

für i=0,...,n ist kein Gruppenhomomorphismus.

Wie Michael witer oben schon sagte reicht es aus Gruppenhomomorphismen auf Erzeugern zu betrachten, da die 1

Z / n Z

erzeugt ist der Gruppenhomomorphismus durch das Bild der 1 schon festgelegt.

jamang aktiv_icon

19:32 Uhr, 19.11.2012

Hm.

"Dein Bsp. φ(i¯)=i für i=0,...,n ist kein Gruppenhomomorphismus."

Begründung? Dachte das ist ja gerade das was Z/nZ -> Z aussagt!

Also sagt der genannte Morphismus nichts weiter aus, als dass

ϕ (\overline{0}) = 0

?

"Wie Michael weiter oben schon sagte reicht es aus Gruppenhomomorphismen auf Erzeugern zu betrachten, da die 1 Z/nZ erzeugt ist der Gruppenhomomorphismus durch das Bild der 1 schon festgelegt."

D.h. weil die

1

aus

Z / n Z

alle Elemente von

Z / n Z

erzeugt und

ϕ (\overline{1}) = 0

ist, müssen alle Elemente aus

Z

auch Null sein und damit trivial?

michaL aktiv_icon

19:44 Uhr, 19.11.2012

Hallo,

@jam_ang:

Du behauptest Dinge, die du nicht beweist. Problem: Sind sind nicht beweisbar, weil falsch.
Dazu mein Lieblingsmathematikerzitat: Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (B. Russel)

Du behauptest z.b.:
> Nun, wenn ich aber z.b.

\overline{3}

einsetze, erhalte ich

φ (\overline{3}) = 3

.
> Das ist aber nicht Null. Also gibt es einen nicht-trivialen Gruppenhom.!!!!

Wo ist der Beweis, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt?

Zunächst ist es erst einmal eine Abbildung. Beim Versuch, die anderen Homomorphismusaxiome nachzuweisen würde dir ein Widerspruch auffallen. Vertrau mir. Ich kann meine Aussagen beweisen. Täte ich es hier, würde ich aber deine Arbeit machen. Das will ich nicht.

> Problematisch ist, das sehe ich ein:

φ (\overline{0}) = φ (\overline{n})

, da in der Menge der ganzen Zahlen n≠0.

Und was schließt du daraus? Wird das ignoriert? Da lauert ein Widerspruch. Und du? Augen zu und durch? Das geht leider nicht!

Noch einmal: Nimm das Bild des Erzeugers

\overline{1}

.
Beweise nun entweder, dass es gleich Null sein muss, wenn es keine Widersprüche geben soll.
Oder: Nimm an, das Bild wäre ungleich Null und registriere den genannten Widerspruch.

Du kennst doch indirekte Beweise, oder?

Mfg Michael

Mfg Michael

mafi02 aktiv_icon

19:55 Uhr, 19.11.2012

Hi

"Begründung? Dachte das ist ja gerade das was Z/nZ -> Z aussagt!"
Die Abbildung ist garnicht erst wohldefiniert,z.B.

φ (\bar{0}) = 0 \neq n = φ (\bar{n})

aber in Z/nZ stimmen

\bar{0}

und

\bar{n}

überein.

"Also sagt der genannte Morphismus nichts weiter aus, als dass

φ (\bar{0}) = 0

?"
Jeder Gruppenhomomorphismus hat die Eigenschaft das neutrale Element auf das neutrale Element der Zielgruppe abzubilden, denn

φ (0) = φ (0 + 0) = φ (0) + φ (0)

(hier wurden die Eigenschaften des neutralen Elements

0 = 0 + 0

und die Homomorphismuseigenschaft

φ (a + b) = φ (a) + φ (b)

genutzt). Zieht man nun auf beiden Seiten

φ (0)

ab, erhält man

φ (0) = 0

.

"D.h. weil die 1 aus Z/nZ alle Elemente von Z/nZ erzeugt und

φ (1) = 0

ist, müssen alle Elemente aus Z auch Null sein und damit trivial?"
Ich denke mal du meinst hier alle Element aus Z/nZ werden durch

φ

auf 0 abgebildet, denn z.B.

φ (\bar{2}) = φ (\bar{1} + \bar{1}) = φ (\bar{1}) + φ (\bar{1}) = 0 + 0 = 0

Analog kann man das für alle Element aus Z/nZ nachrechnen.

jamang aktiv_icon

22:20 Uhr, 19.11.2012

Danke sehr für eure Antworten.

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