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Schüler

Tags: Koeffizientenspielchen

Randolph Esser aktiv_icon

13:05 Uhr, 16.10.2026

Hallo Leute,

anknüpfend an meinen letzten Thread geht es weiter
mit einer etwas schrulligen Aufgabe, wie ich finde,
die sich im Anhang befindet
(dort steht auch eine erste alte, wenig elaborierte Antwort von mir).
Hier dazu meine aktuelle, vorläufige Antwort:

Seien

V

ein

ℂ

-Vektorraum,

n \in ℕ_{\geq 0}

und

v_{1}, ..., v_{n} \in V

.
OBdA kann

d i m (V) \geq n

angenommen werden.
Dann gibt es maximal

s \leq n

über

ℝ

linear unabhängige Vektoren im System

v_{1}, . ., v_{n},

die den UVR

L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n})

aufspannen
und nach eventuellem Umordnen kann also

L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{n}) = L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{s})

angenommen werden
und insbesondere

d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{n})) = d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{s})) = s

.
Seien nun

λ_{k} = α_{k} + i β_{k} \in ℂ

mit

α_{k}, β_{k} \in ℝ

für alle

1 \leq k \leq n

.
Dann zeigt die Rechnung

\sum_{k = 1}^{n} λ_{k} v_{k} = \sum_{k = 1}^{n} α_{k} v_{k} + i \sum_{k = 1}^{n} β_{k} v_{k},

dass

d i m_{ℝ} (L_{ℂ} (v_{1}, ..., v_{n})) = 2 s

gilt

(v_{1}, ..., v_{s}, i v_{1}, ..., i v_{s}

ist eine

ℝ

-Basis von

L_{ℂ} (v_{1}, . ., v_{n}))

.
Die Zahlenpaare sind also

{(r, s) \in ℕ_{\geq 0}^{2} : s \leq n, r = 2 s}

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Wie findet ihr meinen Abwasch,
wie würdet ihr die Aufgabe bearbeiten ?

Randolph Esser aktiv_icon

14:19 Uhr, 16.10.2026

Meine Antwort oben ist sicher falsch, Gegenbeispiel:

V = ℂ

als

ℂ

-Vektorraum und

1, i \in ℂ,

also

n = 2

.
Dann gilt

s = d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (1, i)) = d i m_{ℝ} (ℂ) = 2

und auch

r = d i m_{ℝ} (L_{ℂ} (1, i)) = d i m_{ℝ} (ℂ) = 2

.

Wegen

L_{ℂ} (v_{1}, ..., v_{n}) = L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n}, i v_{1}, ..., i v_{n})

und somit

d i m_{ℝ} (L_{ℂ} (v_{1}, ..., v_{n})) = d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n}, i v_{1}, ..., i v_{n}))

ziehe ich mich für gegebenes

n

und einen gegebenen Vektorraum auf

{(r, s) \in ℕ_{\geq 0}^{2} : s = {dim}_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n})) \leq 2 d i m_{ℂ} (V), s \leq r \leq m a x (2 s, 2 d i m_{ℂ} (V))},

und da man den Vektorraum (wie auch die

n

Vektoren) frei wählen darf, dann auf die Antwort

{(r, s) \in ℕ_{\geq 0}^{2} : s \leq n, s \leq r \leq 2 s}

für gegebenes

n

zurück.

Wer kennt/kann diese Aufgabe schon/hat eine Musterlösung ?

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