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Lineare Algebra / Höhe der Pyramide

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Höhe, Pyramide

eXeLaNCe aktiv_icon

18:33 Uhr, 27.02.2011

Hallo liebe Leute,

habe folgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben ist eine Pyramide mit dem Grunddreieck

A = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} - 2 \\ - 5 \\ - 8 \end{matrix})

und der Spitze

S = (\begin{matrix} - 3 \\ - 7 \\ 1 \end{matrix})

.

Ich soll jetzt die Höhe der Pyramide berechnen.

Habe schon aus den Punkten die Ebenengleichung

E = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \\ - 8 \end{matrix})

gestellt und den Normalenvektor

(\begin{matrix} - 28 \\ - 28 \\ 28 \end{matrix})

mit dem Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren bestimmt.

Habe jetzt leider keine Idee, wie ich die Höhe der Pyramide berechnen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Rstmnky aktiv_icon

18:46 Uhr, 27.02.2011

ich nehme an die ebene is für die grundfläche? wenn ja dann hastes ja schon fast.

(edit: bei deiner ebenengleichung hat sich ein fehler versteckt. dein aufpunkt passt nicht zu den 3 gegebenen punkten. nimm einfach A als aufpunkt; die richtungsvektoren stimmen soweit)

die nächsten schritte wären: normalvektor normieren(also durch länge teilen) und dann den abstand zu punkt s mittels hesse ausrechnen , das ist dann deine höhe für die pyramide. dann suchste dir die volumenformel für ne pyramide raus (wird irgendwas wie grundfläche * höhe *1/3 sein) und schwups haste das ergebnis.

oder du berechnest das volumen übers spatprodukt aus (aber da ich nich weiß ob dir das schon was sagt will ich jetzt erstmal noch nicht ins detail gehen, sag bescheid wenn dus spatprodukt kennst, dann können wir uns da auch nen lösungsweg überlegen)

eXeLaNCe aktiv_icon

18:51 Uhr, 27.02.2011

Hi, erstmal vielen Dank für die Antwort.

Spatprodukt sagt mir schon was, müsste ich dann nicht einfach das Skalarprodukt aus dem Ortvektor

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

mit dem Normaldenvektor (Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren) berechnen?

Habe dann folgendes herausbekommen:

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 28 \\ - 28 \\ 28 \end{matrix}) = - 28

.

Ist es dann das Volumen der Pyramide? Dann müsste ich doch aber noch die Grundfläche berechnen oder?

Rstmnky aktiv_icon

19:02 Uhr, 27.02.2011

ne das mit dem spatprodukt stimmt so nicht. ist dein punkt A nun (0,1,1) oder (0,1,0)?

versuchs erstmal mittels hessescher normalform am besten. (und dann höhe*grundfläche*1/3)

übers spatprodukt ginge es folgendermaßen:

du rechnest dir wieder deinen abstand von S zur ebene aus. nennen wir diesen abstand "d".

der normierte normalenvektor ist ja $\frac{1}{\sqrt{28 ² + 28 ² + 28 ²}} ({- 28}_{28}^{- 28}) = \frac{1}{\sqrt{3}} ({- 1}_{1}^{- 1})$ (schon vereinfacht, die wurzel ausgerechnet, 28 rausgezogen und gekürzt, kannste ja nachrenchen)

dann setzt du einen neuen vektor (nennen wir ihn mal u) fest mit u= $\frac{d}{\sqrt{3}} ({- 1}_{1}^{- 1})$

(wobei d wieder der abstand von s zur ebene ist.

dein volumen berechnest du jetzt, indem du das spatprodukt aus deinen beiden richtungsvektoren der ebene und dem vektor u ausrechnest und dann das ganze mal einen faktor (hier 1/6 weil wir ja ne dreiecksfläche als grundfläche haben) malnimmst.

eXeLaNCe aktiv_icon

19:19 Uhr, 27.02.2011

Ja das war mein Tippfehler bei A. A ist also

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Irgendwie bin ich im letzten Schritt etwas durcheinander gekommen.

Der Abstand

d

ist ja

1,

haben wir also als Vektor

U = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

.

Muss ich das dann erneut mit dem Kreuzprodukt

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

multiplizieren um das Volumen zu bekommen?

Habe jetzt folgendes versucht:

V = \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ + \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

. Stimmt das so?

Wie berechne ich aber jetzt die Höhe, ohne die Grundfläche zu kennen?

eXeLaNCe aktiv_icon

19:49 Uhr, 27.02.2011

Könnte mir vielleicht bitte jemand helfen? Ich bin gerade weiter gekommen und möchte nicht, dass ich kurz vor dem Ende mit dem Lösen der Aufgabe aufhöre.

Habe mit der Rechnung "Winkel zwischen zwei Vektoren" herausbekommen, dass der Winkel

α = 90

° ist.

Damit kann man soweit ich weiß die Fläche des Dreiecks rechnen mit der Formel: (Betrag)

\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot sin (α)

die Fläche berechnen, habe also

24 \cdot 152 \cdot sin (90) = 3648

. Da es aber ein Dreieck ist muss ich es durch 2 Teilen, also

1824

.

Stimmt es soweit als Grundfläche?

maxsymca

20:28 Uhr, 27.02.2011

Hab jetzt nicht die Zeit Deinen Rechengang aufzudröseln, aber als Zusammenfassung
Fd:untersucheLage3Punkte(A,B,C);
Es handel sich um ein Dreieck..
das nichtrechtwinkelig ist!
Winkel

α

ABC:53.41322444637054
Winkel

β

CAB:103.897886248014
Winkel

γ

ACB:22.68888930561548
Länge der Seiten:
AB

= 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} . 898979485566356

= 2 \cdot \frac{\sqrt{38}}{12} . 32882800593795

= 2 \cdot \frac{\sqrt{26}}{10} . 19803902718557

Ebene aufgespannt von ABC (A+r*AB+s*AC):

[4 \cdot r - 2 \cdot s,1 - 2 \cdot r - 6 \cdot s,2 \cdot r - 8 \cdot s]

Normalform:

- 28 + 28 \cdot x + 28 \cdot y - 28 \cdot z

Flächeninhalt:

F = 14 \cdot \sqrt{3}

h:abstandPunktEbene(-1+x+y-z,S);

4 \cdot \sqrt{3}

Volumen:14*sqrt(3)*4*sqrt(3)/3;
oder
spatProdukt(B-A,C-A,S-A)/2/3

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eXeLaNCe aktiv_icon

03:00 Uhr, 01.03.2011

Alles klar danke für die Hilfe!

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