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Lineare Approximation und Fehler berechnen

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Komplexe Analysis

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Komplexe Analysis

ManiacM4n aktiv_icon

14:52 Uhr, 02.01.2010

Habe ich folgende Aufgabe richtig gelöst? Bin mir vor allem bei der Berechnung der Abweichung (Fehler) unsicher!

Bestimmen Sie die lineare Approximation der folgenden Funktion an der Stelle

P (2, 2)

. Berechnen Sie außerdem die Abweichung dieser Tangentialebene vom Wert der ursprünglichen Funktion im Punkt

Q (1, 1)

. Hinweis: Die Abweichung (den Fehler) einer Approximation in einem Punkt bestimmt man durch Auswerten des Betrags der Differenz des Funktionswertes und der Wertes der Approximation an der betreffenden Stelle.

f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot y}{x^{4} + y^{2}}

f (1,1) = \frac{1}{2}

f (2,2) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

Partielle Ableitungen und deren Wert an Stelle

P (2,2) :

f_{x} (x, y) = \frac{(2 \cdot x \cdot y \cdot (x^{4} + y^{2})) - (x^{2} \cdot y \cdot (4 x^{3}))}{{(x^{4} + y^{2})}^{2}}

f_{x} (2,2) = \frac{160 - 256}{400} = - \frac{6}{25}

f_{y} (x, y) = \frac{(x^{2} \cdot (x^{4} + y^{2})) - (x^{2} \cdot y \cdot 2 y)}{{(x^{4} + y^{2})}^{2}}

f_{y} (2,2) = \frac{80 - 32}{400} = \frac{3}{25}

Lineare Approximation:

t (x, y) = f (2,2) + f_{x} (2,2) \cdot (x - 2) + f_{y} (2,2) \cdot (y - 2)

= \frac{2}{5} + ((- \frac{6}{25}) \cdot (x - 2)) + ((\frac{3}{25}) \cdot (y - 2))

= \frac{2}{5} - \frac{6 \cdot x}{25} + \frac{12}{25} + \frac{3 \cdot y}{25} - \frac{6}{25}

= - \frac{6 x}{25} + \frac{3 y}{25} + (\frac{10 + 12 - 6}{25})

= \frac{- 6 x + 3 y + 16}{25}

Abweichung:
Bin mir absolut nicht sicher, wie man die Abweichung berechnen soll.. habe mir folgendes gedacht:

| f (1,1) - t (1,1) |

= | \frac{1}{2} - (\frac{- 6 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 16}{25}) |

= | \frac{12,5}{25} - \frac{13}{25} | = | \frac{0,5}{25} |

Richtig?

Vielen Dank für Hilfe und Korrektur im voraus :-)

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