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Lineare Gleichungssysteme

Schüler , 10. Klassenstufe

Tags: Lösbarkeit untersuchen

Cagla aktiv_icon

20:02 Uhr, 11.02.2012

Hallo an alle,
ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen. Ich habe selbständig versucht einen Lösungsweg zu finden, möchte mir aber sicher sein.

Hier die Aufgabe:
Untersuchen Sie das LGS auf Lösbarkeit. Bestimmen Sie die Lösungsmenge.

2 x + 2 y + 2 z = 6

2 x + y - z = 2

4 x + 3 y + z = 8

Ich habe rausgekriegt das dieses LGS nicht lösbar ist. Hier mein Rechenweg
Zunächst habe ich eine Tabelle erstellt (Grauß'scher Algorithmus)

x - y - z -

2 - 2 - 2 - 6

2 - 1 - (- 1) - 2

4 - 3 - 1 - 8

3. Zeile

+ 2

. Zeile

2 - 2 - 2 - 6

6 - 4 - 0 - 10

4 - 3 - 1 - 8

1.Zeile

/ - 2 &

1.Zeile

+

3.Zeile

(- 1) - (- 1) - (- 1) - (- 3)

6 - 4 - 0 - 10

3 - 2 - 0 - 5

3. Zeile

\cdot - 2 & 3

. Zeile

+ 2

. Zeile

(- 1) - (- 1) - (- 1) - (- 3)

0 - 0 - 0 - 0

3 - 2 - 0 - 5

Aufgrund der 2. Zeile ist diese Aufgabe für mich nicht mehr lösbar. Oder habe ich etwas falsch gemacht?

Danke im voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

20:13 Uhr, 11.02.2012

Hier die Aufgabe:
Untersuchen Sie das LGS auf Lösbarkeit. Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
I.

2 x + 2 y + 2 z = 6

II.

2 x + y - z = 2

III.

4 x + 3 y + z = 8

addiere mal I.

+

II. und vergleiche mit III.

fällt dir etwas auf?

wenn ja: welche Schlüsse ziehst du daraus?

?

Cagla aktiv_icon

20:17 Uhr, 11.02.2012

Das Ergebnis von

1 + 2

ist identisch mit der 3. Zeile...

Jedoch weiss ich nicht was das bedeuten könnte bzw. für was dies ein Beweis ist.

rundblick aktiv_icon

20:30 Uhr, 11.02.2012

"Das Ergebnis von

1 + 2

ist identisch mit der 3. Zeile..."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. JA

das bedeutet zunächst, dass dein Gleichungssystem keine eindeutige Lösung haben wird.
..du hast nur zwei Gleichungen für drei Variable:
I.

x + y + z = 3

II.

2 x + y - z = 2

vielleicht gibt es ja ganz viele Lösungen??

zB:
könntest du Punkte

(x, y, z)

finden,
die diese beide Gleichungen (und damit auch die dritte) erfüllen?

Cagla aktiv_icon

20:34 Uhr, 11.02.2012

okay... und wie gehe ich hier vor? Ganz normal wie beim Grau'schen Algorithmus oder muss etwas anders gemacht werden?

rundblick aktiv_icon

20:41 Uhr, 11.02.2012

x + y + z = 3

II.

2 x + y - z = 2

nun,

ich schlage dir mal vor, die Schnittgerade

g

der beiden Ebenen I. und II. zu berechnen.

alle Punkte, die auf

g

liegen, erfüllen dann dein 3X3-Gleichungssystem.

versuchs mal

\to .

Cagla aktiv_icon

20:50 Uhr, 11.02.2012

Ich verstehe nicht warum sie die erste Zeile durch 2 geteilt haben... Muss ich die Schnittgerade berechnen? Gibt es keine Alternative, bis jetzt haben wir die Berechnung der Schnittgeraden nicht in diesem Zusammenhang angewendet...

rundblick aktiv_icon

21:02 Uhr, 11.02.2012

... ... ... ... ... . .

. na aber!

wenn
I.

2 x + 2 y + 2 z = 6

dann ist dies doch gleichwertig mit
I.

x + y + z = 3

warum wohl?
.. und gibt halt weniger zum Schreiben
aber du darfst gerne mit I.

2 x + 2 y + 2 z = 6

weiterrechnen..

so:
du könntest ja mal durch einfaches Hinschauen geeignete Werte finden,
die beide Gleichungen erfüllen:
I.

x + y + z = 3

II.

2 x + y - z = 2

Beispiele:

(- 1, 4, 0)

oder

(1, 1, 1)

usw..
finde selbst weitere Lösungen deines Systems -
überlege dann, wie du die allgemein berechnen könntest..
und überzeuge dich noch davon, dass all
diese Lösungspunkte auf einer Geraden

g

im Raum herumliegen..
.

Cagla aktiv_icon

21:10 Uhr, 11.02.2012

Tut mir leid aber das alles verwirrt mich nur noch mehr. Ich glaube ich wende mich am Montag an meinen Mathelehrer.

Trotzdem Danke.

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