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Lineare Gleichungssysteme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Textaufgabe

anonymous

14:25 Uhr, 12.05.2014

Hallo,

habt ihr bestimmt schon tausende Male gelesen, aber ich komme nicht weiter und brauche dringend Hilfe. Es geht um Lineare Gleichungssysteme. Wir haben Aufgaben bekommen zum Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren. Erste Aufgabe;

Auf einer Weide sind Gänse und Schafe. Zusammen haben die

15

Tiere

52

Beine. Wie viele Schafe und Gänse weiden hier?

Vorgegebene Hilfe zur Lösung:

4 x + 2 y = 52

Damit fängt es schon an. Wie kommen die auf 4 und 2. Wo werden die her genommen?

Ich hätte jetzt so angefangen:

x + y = 52

Und das war es schon, wie gehe ich jetzt weiter?

Danke für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

14:31 Uhr, 12.05.2014

na,
Schafe haben 4 Beine,
Gänse haben 2 Beine.
Es sind

x

Schafe und

y

Gänse auf der Weide.

Mit Deinem Ansatz addiertst Du nur die Anzahl der Schafsbeine und die Anzahl der Gänsebeine
Gesucht sind aber die "Anzahl der Schafe" und die "Anzahl der Gänse"

Die zweite Gleichung ergibt sich aus dem Halbsatz:
"Zusammen haben die

15

Tiere ...".
;-)

anonymous

14:38 Uhr, 12.05.2014

Aaaahhhhh verstehe. Vielen Dank! Dann wäre die Rechnung jetzt

4 x + 2 y = 52

4 x = 52 - 2 y

richtig?

und wie geht es weiter?

funke_61 aktiv_icon

14:41 Uhr, 12.05.2014

Wie schon oben erwähnt, brauchst Du noch eine zweite Gleichung!
Diese ergibt sich aus dem Halbsatz:
"Zusammen haben die

15

Tiere ...".

anonymous

14:50 Uhr, 12.05.2014

15 = 52

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14:57 Uhr, 12.05.2014

15 = 52

ist ja wohl völlig falsch, das wirst du einsehen, oder?

15

ist ja die Anzahl der Tiere, wobei

x

für die 4-Beiner, also die Schafe und

y

für die 2-Beiner, also die Gänse steht.

Somit:

15 = x + y

Verstanden?

;-)

anonymous

12:18 Uhr, 13.05.2014

Enschuldigen Sie bitte, dass ich gestern nicht mehr reagiert habe bzw. konnte. Ich wurde irgendwie automatisch von dieser Seite abgemeldet und konnte mich nicht mehr anmelden. Komisch??? Wie auch immer.

Bitte ein bisschen Geduld für mich haben, ich habe eine leichte Dyskalkulie, deshalb brauche ich ja auch Hilfe :-)

OK und wie geht es jetzt weiter?

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12:25 Uhr, 13.05.2014

. .

. du hast jetzt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Dies nennt man Gleichungssystem.

4 \cdot x + 2 \cdot y = 52

x + y = 15

Das Einsetzungsverfahren:

Du suchst dir eine Gleichung aus

(z . B

. die Zweite), stellst diese nach einer Variablen um

(z . B

x = ...)

und setzt dann den Ausdruck für

x

in die erste Gleichung ein.

Diese enthält dann nur noch

y

als Variable. Berechne das

y

durch umstellen.

Wenn du dann

y

hast, dann kannst du dieses in irgendeiner der beiden Gleichungen einsetzen und so das

x

berechnen. Bei beiden Gleichungen wird auch das gleiche

x

rauskommen!

Versuch's doch mal, bevor wir an das Additionsverfahren gehen.

;-)

anonymous

13:15 Uhr, 13.05.2014

Ich habe jetzt einmal folgendes Ergebnis errechnet.

L = {(\frac{3,6}{18,6})}

Ist das richtig?

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13:34 Uhr, 13.05.2014

Nein.

x \cdot y = 15 - \to x = 15 - y

4 x + 2 y = 52

4 \cdot (15 - y) + 2 y = 52

60 - 4 y + 2 y = 52

- 2 y = - 8

y = 4

x = 15 - 4 = 11

L = (11; 4)

anonymous

10:51 Uhr, 14.05.2014

Frage;

Warum

x + y = 15

x = 15 - y

warum nicht

x + y = 15

y = 15 - x

Woher weiß ich, womit ich anfangen muss? Ich meine mit welcher Rechnung

x + y = 15

oder

4 x + 2 y = 52

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10:56 Uhr, 14.05.2014

"warum nicht

x + y = 15

y=15−x"

Es spielt keine Rolle, ob du

x

durch

y

oder

y

durch

x

ausdrückst.

anonymous

10:58 Uhr, 14.05.2014

Ich habe die Rechnung noch einmal selbständig gemacht und ich komme auf das gleiche Ergebnis

(\frac{11}{4})

. Das Problem ist, glaube ich, dass ich irgendwie falsch anfange.

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11:05 Uhr, 14.05.2014

"Das Problem ist, glaube ich, dass ich irgendwie falsch anfange."

Offenbar nicht. Es musste dasselbe rauskommen. Dein Ergebnis stimmt doch. Beachte, wie du

x

und

y

am Anfang definiert hast.

anonymous

11:14 Uhr, 14.05.2014

Mal eine andere Aufgabe.

7 x - 2 y = 4

3 x + y = 11

__{_}__{_}__{_}_

Wie fange ich an und wie erkenne ich das?

anonymous

11:25 Uhr, 14.05.2014

Das ist jetzt meine Rechnung dazu;

y = - 3 x + 11

7 x - 2 y = 4

7 x - 2 (- 3 x + 11) = 4

y = - 3 x + 11

7 x - 6 x - 22 = 4

y = - 3 x + 11

x = 22 + 4

x = 26

y = - 3 \cdot 26 + 11

y = - 67

L = {(\frac{26}{- 67})}

Ist das richtig?

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11:48 Uhr, 14.05.2014

Du hast einen Vorzeichenfehler drin:

7 x - 2 (- 3 x + 11) = 4

7 x + 6 x - 22 = 4

13 x = 26

x = 2

Edddi aktiv_icon

14:08 Uhr, 14.05.2014

. .

. bei solch einfachen linearen GLS-en ist es vielleicht an der Zeit, sie mittels Additionsverfahren zu lösen. Dies ist übersichtlicher und einfacher.

7 x - 2 y = 4

3 x + 1 y = 11

Bei jeder Gleichung soll ja die linke Seite identisch mit der rechten sein. Dies ändert sich auch nicht, wenn wir jede Seite (hier in der 2. Gleichung) mit 2 multiplizieren:

7 x - 2 y = 4

6 x + 2 y = 22

Nun können wir von beiden Gleichungen die linken Seiten addieren. Dann muss dasselbe rauskommen, wie wenn wir die rechten Seiten addieren:

7 x - 2 y = 4

6 x + 2 y = 22

- - - - - -

13 x + 0 y = 26

es ist also

13 x = 26

bzw.

x = 2

Das

y

kannst du nun wie gehabt berechnen.

Zur Übung auch der Weg mit

y

. Wir müssen nur sehen, dass wenn jetzt beide x-Terma addiert werden, diese zu Null werden. Oben haben wir

7 x

unten

3 x \to

das ergäbe ja

10 x

Also multiplizieren wir einfach die 2. Gleichung mit

- \frac{7}{3}

. Wir erhalten dann:

7 x - 2 y = 4

- 7 x - \frac{7}{3} y = - \frac{77}{3}

nun wieder addieren:

7 x - 2 y = 4

- 7 x - \frac{7}{3} y = - \frac{77}{3}

- - - - - - - - -

0 x - \frac{13}{3} y = - \frac{65}{3}

es ist also

- \frac{13}{3} y = - \frac{65}{3}

bzw.

13 y = 65 \to y = 5

;-)

anonymous

15:03 Uhr, 14.05.2014

Ja danke. Das mag ja sein, dass diese Variante einfacher ist. Das wäre ja der nächste Schritt gewesen, aber wir sollen erst einmal Aufgaben mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

Trotzdem, danke.

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