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Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Schüler Gymnasium, 7. Klassenstufe

Tags: Lineares Gleichungssystem

MichaelKnight aktiv_icon

19:19 Uhr, 25.06.2009

Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen a)mit der Gleichsetzungsmethode, b)mit der Einsetzungsmethode? Könntet ihr mir des mal anhand einer leichten und einer schweren Beispielaufgabe erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

huhuhu aktiv_icon

19:43 Uhr, 25.06.2009

a)

mit der Gleichsetzungsmethode:

Man hat zwei (oder mehr) Gleichungen mit zwei (oder mehr) Unbekannten.
Man löst nach einer Variablen auf, setzt sie gleich und berechnet die andere.

Beispiel:

(1) y = 2 x + 2

(2) y = x + 3

(1) = (2)

2 x + 2 = x + 3

x + 2 = 3

→

x = 1

MichaelKnight aktiv_icon

20:13 Uhr, 25.06.2009

Ich glaub´ diese Gleichung hätt ich auch noch geschafft...aber könntet ihr mir mal

z . B

. solche beschreiben:

1) 3 x + y = 19

10 y = 7 x + 5

2) - x + 7 y = 0

- x = - 7 y

Shipwater aktiv_icon

14:24 Uhr, 26.06.2009

Hi,

3 x + y = 19

10 y = 7 x + 5

Hier musst du beide Gleichungen zuerst so umstellen, dass nur

x

bzw.

y

auf einer Seite steht:

3 x + y = 19

\to y = 19 - 3 x

10 y = 7 x + 5

\to y = \frac{7 x + 5}{10}

\Rightarrow 19 - 3 x = \frac{7 x + 5}{10}

(19 - 3 x) \cdot 10 = 7 x + 5

190 - 30 x = 7 x + 5

185 = 37 x

\frac{185}{37} = x

5 = x

Und das kannst du nun in eine der obigen Gleichungen einsetzen, um

y

zu ermitteln:

y = 19 - 3 x

x = 5

einsetzen:

y = 19 - 3 \cdot 5

y = 19 - 15

y = 4

L = {(4,5)}

Bei der zweiten Aufgabe gibt es imho unendlich Lösungen, denn die Gleichung ist dann erfüllt, wenn

y = \frac{x}{7}

ist.

- x = - 7 y

x = 7 y

\to \frac{x}{7} = y

x = 7 \cdot \frac{x}{7}

x = x

Und egal was du für

x

einsetzt die Gleichung

x = x

wird immer stimmen.

Gruß Shipwater

MichaelKnight aktiv_icon

16:36 Uhr, 26.06.2009

Ist die zweite Gleichung dann allgemeingültig?

Shipwater aktiv_icon

16:39 Uhr, 26.06.2009

Hi,

ich weis leider nicht ob man das so sagt. Aber es stimmt, dass sie für egal welchen Wert für

x

erfüllt ist, solange der

y

-Wert

\frac{x}{7}

entspricht.

Gruß Shipwater

MichaelKnight aktiv_icon

17:12 Uhr, 26.06.2009

Ich hab mal gelernt, dass wenn man bei einer Gleichung irgendeine Zahl für die Variable einsetzen kann, man sie gleichgültig nennt. Geht die Gleichng jedoch nicht auf, wenn man

z . B

5 = 8

herausbekommen hat, nennt man sie unlösbar.

Shipwater aktiv_icon

17:16 Uhr, 26.06.2009

Hi,

hier ist es aber nicht ganz so. Denn wenn du

z . B

. für

x

sieben und für

y

fünf einsetzt ist die Gleichung nicht erfüllt. Sie ist nur dann erfüllt wenn

y = \frac{x}{7}

ist. Also wenn

x

sieben ist, wäre sie nur dann erfüllt wenn

y = \frac{7}{7} = 1

ist. Also gibt es zwar unendliche Lösungen, aber

y

muss eben

\frac{x}{7}

sein.

Gruß Shipwater

MichaelKnight aktiv_icon

19:33 Uhr, 26.06.2009

Ja...hab ich mittlerweile auch gemerkt...auf jeden Fall habt ihr mir sehr geholfen und dafür möchte ich mich recht herzlich bedanken!

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