Lineare Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben

Hi Leute, ich habe folgendes Problemchen:

Wir haben jetzt im 2. Semester mit Matrizenrechnung angefangen. Lief alles bestens bis jetzt, dank Papula ;-) Da ich Wirtscahftsingenieurwesen studiere läuft natürlich nicht nur die technische sondern auch die writschaftliche Mathematik mit ins Studium ein.

Wir haben mit Gleichungssystemen angefangen (Kurz: GLS) und ich habe bis dato alle Systeme mit der Cramerschen Regel gelöst, was ich aber gleich wieder vergessen kann, weil diese nur zieht, wenn die Det vom GLS ungleich 0 ist.

Jetzt sagt uns unsere Professorin wir sollen die Matrizen (also die GLS) mit einer "Z-Formel" berechnen, kurz Austauschverfahren. Da ich aus den Vorlesungen i.d.R. nicht viel mitnehme und mir alles selbst erarbeite, habe ich das Problem, dass mir im Moment die Literatur fehlt.

Kurzum: Könnt Ihr mir helfen folgendes GLS zu lösen? Ich brauche nur die Grundschritte, der Rest ist stumpfes Anwenden!!

So. Jetzt muss ich mir ein Haupelement suchen. Folgende Regeln sind mir bekannt:

a) Austauschverfahren heißt, ich muss die x-Varaiblen in äußerste linke Spalten bringen und dann mit den jeweiligen y-Variable tauschen (klingt wirklich sehr fachmännisch, sry)

b) d.h. ich suche mir zuerst ein Hauptelement (HE), welches idealerweise "1" ist in irgendeiner Zeile aus. Wenn ich keines finde, dann suche ich mir eins, welches recht klein ist und sich davon der recht einfach der Kehrwert bilden lässt (Neues HE ist also "1 geteilt durch HE welches ich gewählt habe")

c) Nun teile ich die Zeile, in der mein HE steht durch den Wert des HE und die Spalte des HE durch den negativen Wert des HE

So sollte es dann aussehen:

d) die fett markierten "?" m${\displaystyle 3-\frac{(-1*2)}{1}}$üssen nun neu ermittelt werden. Wie ihr seht habe ich schon mein erstes "x" (hier x2) in die linke Spalte geholt und mit y1 getauscht

e) Jetzt kommt diese ach so tolle z-Regel: Ausgehend von meinem gewählten HE (ich bin wieder in der alten Matrix bzw. ersten Matrix) berechne ich die neuen Nebenelemente wie folgt:

- aus der "3" wird 5. Wie? ACHTUNG RECHENWEG: 3-(-1*2/1)=5

- aus der "-1" wird...

Ich bekomme dann folgende Matrix

So. Jetzt möchte ich das nächste x in die Spalte links bekommen. Ich nehme also aus der zweiten Zeile die neue (positive) 1 bei x3 und fange an zu rechnen. Am Ende steht dann folgende Matrix:

Meine Frage: Ist die Rechnung so richtig? Stimmt der Ansatz? Wie bekomme ich die 3 Zeile raus? UND: Wenn ich sie rausbekäme, was dann? Wir sollen genau dieses Verfahren verwenden, weil wir damit noch in "Operation Research" das Maximierungsaufgaben berechnen müssen.

Ich hoffe es kann mir einer helfen.

VG Schroedinger!!

Wie bereits erwähnt macht es keinen Sinn das Gauß-Verfahren anzuwenden, weil dies nur dann Sinn macht, wenn das GLS IMMER gelöst werden kann. Aus wirt.mathemat. Sicht kann dies u.U. nicht immer zutreffen, womit ich dieses Verfahren verwenden muss. Ich habe das erste GLS auch so hinbekommen, leider komme ich bei den restlichen nicht mehr weiter. Ist so oder so ein heiden Rechenaufwand.

Vielleicht kann jemand mit den Schlagwörtern Operation Research, lineare Optimierung und Simplexverfahren was anfangen.

Ich würde auch immer mit Gauß lösen (umstellen, einsetzen, umstellen einsetzen, umstellen einsetzen usw.usf. bis ich die erste Variable habe - das fkt. aber nur, wenn immer alles lösbar ist!!! Hier kann eben auch ein anderer Fall eintreten!!)

Kann mir jemand mal da helfen??

Wir sollen es mit folgender Formel lösen:

http://www.fh-jena.de/~gruetzma/formeln/Teil2.PDF s. S. 25

Hier nochmal eine Gleichung - vllt. kann sie mit mir mal jemand durchgehen:

So - jetzt kann ich mir doch ein beliebiges Piveaut-Element aussuchen und dann damit die Rechenschritte durchführen. Dann erhalte ich Tableau 2 und ich muss jetzt in Spalte xn schauen, welches Element sich anbietet, dann wieder Rechenregeln anwenden usw. Idealerweise ist das Haupt/Piveautelement 1 (auf jeden Fall nicht Null!) und ich kann mit dieser "Rechteckregel" das ganze berechnen, bis letztlich alle x mit den y getauscht wurden, nur kommen bei mir unmögliche Werte raus, OBWOHL die Rechnung korrekt ist...und ich verstehe es nicht...irgendwo habe ich noch einen Fehler...