Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lineare Iterierte Abbildung über Fische

Lineare Iterierte Abbildung über Fische

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Abbildung, iteration, Linear

anonymous

13:58 Uhr, 23.11.2013

Hallo zusammen,

in dieser Aufgabe geht es um eine Lineare Iterierte Abbildung einer Fischpopulation. Die Aufgabe besteht aus 7 Teilaufgaben. Ich werde nach und nach die Aufgaben reinsetzen, nachdem die zu davor liegende Teilaufgabe abgehakt wurde. Es ist zwar ein absolut neues Thema für mich, aber ich versuche trotzdem Vorschläge zu machen.

Grüße, robbie2210

In jedem Jahr wächst eine Fischpopulation im Meer um 20%. Dieses Wachstum wird durch
Fischerei gestört. Die Fangquote ist auf 300t/J festgelegt und wird auch voll ausgenutzt. Ein einzelner Fisch wiegt ca. 3 kg.

1.)
Warum kann man die Entwicklung der Population von Jahr zu Jahr durch folgende
iterierte Abbildung beschreiben:

a_{n + 1} = 1, 2 a_{n} - 1 0^{5}

Wofür stehen die Variablen a und n und in welchen Einheiten werden sie gemessen?

Vorschläge:

1 0^{5} = 100.000

300 t \hat{=} 300.000 k g

jeder Fisch wiegt im Durchschnitt ca. 3kg:

\frac{300.000}{3} = 100.000

20 % \hat{=} 0, 2

a

Population

n

Jahre

a_{n}

Population im Jahr n

Rechenversuch:
1,2*100.000*0,2-100.000=-76.000

Das heißt das von den etwa 100.000 Fischen entweder 76.000 weggefischt oder übrig bleiben...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

16:34 Uhr, 23.11.2013

n

ist die Zahl der Jahre,

a_{n}

die Population im Jahr

n

anonymous

16:43 Uhr, 24.11.2013

Hallo prodomo,

vielen dank für ihre Antwort. Jetzt wissen wir, wofür

a_{n}

steht.

1. Jahr:

a_{n + 1} = 1, 2 * 100.000 * 1 - 100.000 = 20.000

Grüße, robbie2210

anonymous

16:45 Uhr, 24.11.2013

2.)
Wie viele Fische dieser Art muss es im Fanggebiet geben, damit der Fischbestand unter diesen Bedingungen konstant bleibt?

anonymous

16:47 Uhr, 24.11.2013

2.)
Wie viele Fische dieser Art muss es im Fanggebiet geben, damit der Fischbestand unter diesen Bedingungen konstant bleibt?

Ich kann mir vorstellen, dass es wieder falsch sein wird, aber ich denke 76.000 Fische ( Formel von oben).

anonymous

16:54 Uhr, 24.11.2013

3.)
Skizzieren Sie den Graphen der Iterationsfunktion

a_{n + 1} = f (a_{n})

und zeichnen Sie die Winkelhalbierende ebenfalls mit ein.

Also, ich denke hier zeichnet man die x- sowie-y-Achse auf und vom Koordinatenursprung wird im 45° Winkel eine gestrichelte Linie gezeichnet. In der Mitte ist ein Fixpunkt. Aber welche Werte trage ich ein? Sind auf der y-Achse die Anzahl der Fischpopulationen aufgeführt, z.B. 10.000;20.000;30.000 usw.?

anonymous

12:03 Uhr, 25.11.2013

Ich werde bis heute Abend bezüglich der Fischpopulationsaufgabe warten, da ich diese Aufgabe morgen abgeben muss und ich noch meine Facharbeit sowie mein Referat vorbereiten muss. Eigentlich mache ich es nicht gerne, aber ich werde die restlichen Teilaufgaben reinsetzen, auch in der Hoffnung wenigstens die ein oder andere Aufgabe zu erfüllen, schließlich habe ich auch für die ersten drei Aufgaben Vorschläge gemacht.

4.)
Illustrieren Sie im Graphen aus 3., wie sich die Population für verschiedene Anfangswerte der Populationsgröße entwickelt. Wie viele qualitativ unterschiedliche Fälle gibt es?

5.)
Skizzieren Sie die Populationsentwicklung in einem separaten Graphen als Funktion der Zeit für mehrere qualitativ unterschiedliche Anfangswerte.

6.)
Welche Probleme treten auf lange Sicht bei der Entwicklung der Population und der einfachen Formulierung als lineare iterierte Abbildung auf?

7.)
Alternativ könnte die Populationsentwicklung beschrieben werden durch die iterierte Abbildung

a_{n} + 1 = 1, 2 (a_{n} - 1 0^{5})

. Wie ändert sich die Interpretation dieser Iterationsvorschrift im Vergleich zur Gleichung aus 1.?

zu 6.)
auf langer Sicht ungenau?

zu 7.)
[1,2 steht für Monate(12 entspricht 1 Jahr)mal Fischpopulation im Jahr minus 100.000]

Grüße robbie2210

prodomo aktiv_icon

15:58 Uhr, 25.11.2013

Wenn die Zahl der Fische konstant bleiben soll, muss

a_{n + 1} = a_{n}

gelten, also

a_{n} \cdot 1,2 - 10^{5} = a_{n}

Daraus folgt durch beidseitige Addition von

10^{5}

und beidseitige Subtraktion von

a_{n}

a_{n} \cdot 1,2 - a_{n} = 10^{5}

a_{n} \cdot (1,2 - 1) = 10^{5}

0,2 \cdot a_{n} = 10^{5}

a_{n} = \frac{10^{5}}{0,2} = 500000

. Also muss es eine halbe Million Fische geben.

anonymous

19:27 Uhr, 27.11.2013

Vielen Dank nochmals für ihre Bemühung!

robbie2210

1129470

1128277

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?