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Lineare Preisabsatzfunktion

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Tags: Funktion

Lucky92 aktiv_icon

14:32 Uhr, 24.03.2019

Hi zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter. In Youtube Videos und anderen Foren finde ich unterschiedliche Formeln (mal ist der Wert der hier $1500$ ist als a und mal als $m$ bezeichnet..). Super wäre ein Lösungsweg damit ich das Ganze auch nachvollziehen kann. Besten Dank im Voraus!

Einem Unternehmen ist die Preisabsatzfunktion seines Produktes x=1.500-50pnicht bekannt. Die Funktion hat einen linear fallenden Verlauf, $d . h$ . mit steigendem Preis sinkt auch die abgesetzte Menge. Zurzeit verkauft das Unternehmen x1=250Mengeneinheiten zum Preis von p1=25€.Das Unternehmen stellt sich die Frage, ob die umsatzmaximale Preis-Mengen-Kombination vorliegt.

a)Zeigen Sie zunächst anhand einer linearen Preisabsatzfunktion(x=a-bp) die Bestimmung des umsatzmaximalen Preises formal und anschließend an dem oben genannten Zahlenbeispiel auf! Berechnen Sie die umsatzmaximale Absatzmenge und das Umsatzmaximum! Verdeutlichen Sie das Umsatzmaximum auch mithilfe einer Grafik!

b)Zeigen Sie nun den Zusammenhang zwischen dem umsatzmaximalen Preis und dem Prohibitivpreis anhand einer Formel auf!

c)Zeigen Sie nun an dem Zahlenbeispiel, wie eine praktische Vorge-hensweise durch Schätzung einzelner Größen relativ einfach den umsatzmaximalen Preis (näherungsweise) bestimmen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

22:02 Uhr, 25.03.2019

Hallo
der Umsatz ist im Moment $250 \cdot 25 = 6250$
allgemein ist der Umsatz beim Preis $p U (p) = p \cdot x = 1500 \cdot p - 50 p^{2} = - 50 (p^{2} - 30 p) = - 50 {(p - 15)}^{2} + 15^{2} \cdot 50$ das Maximum liegt also bei einem Preis von $p = 15$ mit einem Umsatz von $11250$ .
Graphisch $_- 50 p^{2} + 1500 p$ auftragen.
klar, dass man bei $p = 0$ keinen Umsatz hat, mit $p = 30$ wird der Umsatz wieder $0,$ das ist also der "Prohibitivpreis! (niemand kauft mehr)
das Maximum liegt in der Mitte also beip= $15$
(das Max findest du auch indem du U(p)=differenzierst, statt quadratischer Ergänzung. Oder weil quadratische Funktionen ihr Max( oder Min) immer in der Mitte der 2 Nullstellen haben.) die 2 Nullstellen ergeben also bei einer linearen Nachfrage das Max (nicht nur näherungsweise!)
Gruß lul

Lucky92 aktiv_icon

11:31 Uhr, 29.03.2019

Hi Lul,

vielen Dank für deine Lösung, damit kann ich weiter lernen. Kannst du mir auch noch die folgenden beiden Aufgaben mit Lösungsweg kurz aufzeichnen?

Aufgabe $1 :$

Der Monopolist $U$ verkauft von seinem Produkt $P 1.000$ Mengeneinhei-ten zu einem Preis von $10$ €. Die Preiselastizität beträgt bezogen auf den gegebenen Preis $- 10$ . $U$ geht von einer linearen Preisabsatzfunktion aus.

$a)$ Ermitteln Sie die Preisabsatzfunktion! Leiten Sie eine Formel für den gewinnmaximalen Preis in Abhängigkeit von den variablen Kosten kvher! Gehen Sie dabei von einer linearen Kostenfunktion mit konstan-ten Grenzkosten aus! Berechnen Sie mit Hilfe dieser Formel den ge-winnmaximalen Preis für den Fall, dass die variablen Kosten 7 € be-tragen! Welche Menge wird in diesem Fall verkauft? Wie hoch ist der Gewinn?

$b)$ Bei welchen variablen Kosten wäre der derzeitige Preis von $10$ € ge-winnmaximal?

$c) U$ erwägt eine Ausdehnung der Produktions- und Absatzmenge auf $4.000$ Mengeneinheiten. Welche variablen Kosten müsste $U (z$ . B. durch Mengendegressionseffekte) erreichen, damit eine Absatzmenge von $4.000$ Mengeneinheiten gewinnmaximal wäre? Welchen Preis würde $U$ nach der Produktionsausdehnung verlangen?

Aufgabe $2 :$

In einem Dyopol stehen sich die Anbieter A und $B$ gegenüber. Die Preis-absatzfunktionen, variablen Kosten und aktuellen Preise finden Sie in der folgenden Tabelle. PAF von Anbieter $A :$ xa= 120-6pa+4pb (aktueller Preis $15,$ variable Kosten $4)$
PAF Anbeiter $B :$ xb= 180-9pa+6pb (aktueller Preis $18,$ variable Kosten $6)$ .

$a)$ Berechnen Sie den gewinnmaximalen Preis für Anbieter A unter An-nahme der Chamberlin-Hypothese! Welche Gewinne ergeben sich für die Anbieter A und $B$ in der Ausgangssituation sowie nach der Preis-änderung?

$b)$ Berechnen Sie nun den gewinnmaximalen Preis für Anbieter A unter Annahme der Stackelberg-Hypothese! Mit welchem Preis reagiert Anbieter $B$ gewinnmaximal auf den neuen Preis von Anbieter A?

$c)$ Sind die Lösungen aus den Aufgabenteilen $a)$ und $b)$ mit Blick auf die Preissetzung der Dyopolisten stabil?

Lucky92 aktiv_icon

10:33 Uhr, 10.05.2019

Hi Lul,

könntest du hier deine Rechnungen nochmals Schritt für Schritt ausführen? Ich kann der Rechnung so nicht folgen? Hast du die partielle Ableitung genutzt? Hier wäre der Rechenweg wichtig, um es nachvollziehen zu können.

LG Lukas

ledum aktiv_icon

13:16 Uhr, 10.05.2019

Hallo
zur ersten Aufgabe Rechenweg: 1. umgesetzte Menge $x$ mit $x = 1500 - p \cdot 50 p = 25$ einsetzen ergibt $x = 1500 - p \cdot 25 = 250$
der Umsatz ist dann Preis*Menge also $U = 25 \cdot 250$
allgemein ist der Umsatz $x \cdot p$ also $U (p) = (1500 - p \cdot 50) \cdot p, U = 0$ für $p = 0$ und für $(1500 - p \cdot 50) = 0$ also $p = 30$ . das Max liegt zwischen den 2 Nullstellen also bei $x = 15$ alternativ $U = 1500 p . 50 p^{2}$ ableiten $U' = 1500 - 100 p U' = 0$ für $p = \frac{1500}{100} = 15$ .
zu den anderen aufgaben solltest du erst mal aufschreiben, was du schon hast oder grade noch kannst. Ohne eigenes arbeiten lernst du ja nix
Gruß ledum

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