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Lineare (Un-)Abhängigkeit dreier Vektoren prüfen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Algebra, Familie, Lineare Abhängigkeit, Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektor

SingleSolution aktiv_icon

15:52 Uhr, 27.10.2023

Aufgabe siehe Bild.

Hallo zusammen. Folgende Aufgabe bin ich dabei zu lösen und komme schon bei der

a)

auf Probleme. Ich hätte gezeigt, dass die Vektoren sich als

v_{1} \cdot λ_{1} + v_{2} \cdot λ_{2} + v_{3} \cdot λ_{3} = 0

ausdrücken lassen und dass wenn mindestens ein

λ \neq 0

ist, eine Lineare Abhängigkeit vorliegt, andernfalls eben nicht. Bei Erstellung des LGS sind jedoch Zeile 1 und Zeile 3 identisch, wodurch ich ein unterbestimmtes LGS bekommen würde. Inwiefern kann ich immer noch die

Λ

bestimmen? Ich gehe davon aus, dass die Vektoren eine Linearkombination darstellen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Randolph Esser aktiv_icon

17:19 Uhr, 27.10.2023

Es gilt

\sqrt{3} \cdot v_{1} - v_{2} - \sqrt{2} \cdot v_{3} = 0,

also sind die linear abhängig.

Und das findet

' n

blinder mit Krückstock.

Formal kannst Du das GEV mit den Vektoren ohne die schlimmen irrationalen Skalare nutzen.

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

hat Rang

2,

also sind die Spalten linear abhängig.

Zudem ist die Lösungsmenge des homogenen LGS

{λ (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) : λ \in R,

womit Du auch die obige Linearkombination finden kannst.

Und

v_{4} := \frac{v_{1} \times v_{2}}{| v_{1} \times v_{2} |}

pwmeyer aktiv_icon

17:19 Uhr, 27.10.2023

Hallo,

wenn das Gleichungssystem zur Bestimmung der

λ_{i}

unterbestimmt ist, heißt das ja, dass es dafür beliebig viele Lösungen, insbesondere mit (mindestens) einem der

λ_{i}

ungleich 0.

Zum Beispiel

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} v_{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} v_{2} - v_{3} = 0

Diese Gleichung kannst du mit jeder Zahl (ungleich

0)

multiplizieren und erhältst andere

λ

.

Übrigens die Koeffizienten

λ_{i}

schreibt man links vom Vektor

Gruß pwm

Randolph Esser aktiv_icon

17:34 Uhr, 27.10.2023

{(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) : λ \in R}

natürlich mit geschweifter Klammer oben, scusi...

SingleSolution aktiv_icon

09:00 Uhr, 28.10.2023

Hi, vielen Dank erstmal. Ich hätte noch eine Frage zur Matrix, da ich mich da absolut nicht auskenne. Schreibt man die Vektoren immer vertikal oder auch horizontal in die Matrix? Ich dachte erst immer, die Koordinaten würden horizontal reingeschrieben werden. Vielen Dank schon mal.

Randolph Esser aktiv_icon

13:45 Uhr, 28.10.2023

Wenn Du keine Ahnung hast,
woher kommt dann diese Aufgabe ?
Also Du UND die Aufgabe ?
Und wieso bist Du der Meinung,
dass andere Leute Dir die profansten
Dinge über lineare Algebra erklären sollen ?
Oder, was hab ich davon, Dir hier solche
Fragen zu beantworten ? Nichts !
Sei ein großer Junge und lies doch mal
zumindest Kapitel 0 und 1 von Fischers Lineare Algebra,
oder so...

Mathe45

22:06 Uhr, 28.10.2023

"Schreibt man die Vektoren immer vertikal oder auch horizontal in die Matrix?"
Sowohl der Rang als auch die Determinante ändern sich nicht wenn man die transportierte Matrix verwendet.
Und noch ein Rat : Lass dich von den verbalen Entgleisungen von gestörten Typen nicht beirren.
( " Und das findet

' n

blinder mit Krückstock. " )

SingleSolution aktiv_icon

02:44 Uhr, 29.10.2023

Danke für deine Antwort auf meine Frage. Ich bringe mir Mathe selber bei aus Interesse und habe deshalb einen Account hier erstellt, da mir vieles (auch nach lesen des Fischer Buches) nicht sofort deutlich wird. Die Freundlichkeit in diesem Forum scheint sich aber echt in Grenzen zu halten und ist sehr demotivierend. Vielen Dank trotzdem für die Antwort.
LG

SingleSolution aktiv_icon

02:53 Uhr, 29.10.2023

Ich frag mich wie du dich in einer Situation fühlen würdest, wenn du etwas nicht verstehst und dann so eine nichtsaussagende und triviale Aussage gegen den Kopf geworfen bekommst. Woraus schlussfolgerst du, dass ich nicht bereits das Fischer Skript angefangen habe zu lesen? Aus meiner Unwissenheit der Frage? Nun, wozu ist dann dieses Forum da? Erwarte ich von dir, dass du mir die komplette LinAlg beibringst? Nö! Das solltest du ja eigentlich auch selber wissen. Wenn du die Frage (offensichtlich subjektiv) anscheinend so einfach findest, dann spar dir doch die Zeit für so eine Antwort. Es gibt eben auch Personen, die sich das ganze gerne selber beibringen, ganz aus Interesse und da vieles nicht direkt auf Anhieb klar ist, wenn man länger nichts mehr mit der Mathematik zu tun gehabt hat. Danke für deine Hilfe.

Mathe45

08:15 Uhr, 29.10.2023

@SingleSolution

Wenn man solche Azfgaben zu lösen hat, dann will man meistens das "gesichertes Wissen" überprüfen, also die Anwendung von Gesetzen und Regeln, die bekannt sein sollten und bereits bewiesen wurden ( davon gibt es halt ziemlich viele ).
Du sollst in dieser Aufgabe laut Angabe nur "überprüfen" ob 3 Vektoren aus

ℝ^{3} l . a

. sind oder nicht.
Du hast ja weiter oben schon einige Möglichkeiten aufgezeigt bekommen.
Weiters:
Da du 3 Vektoren aus

ℝ^{3}

hast, kannst du aus ihnen eine quadratisch Matrix bilden die auch eine Determinante besitzt.
Ist der Wert diese Determinante

\neq 0,

so sind die Vektoren linear unabhängig, ist der Wert dieser Determinante

= 0,

so sind sie linear abhängig.

| \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} |

Für die Berechnung dieser Determinante gibt es verschiedene Methoden:

z . B

.
Regel von Sarrus
Der Laplace'sche Entwicklungssatz ( Entwicklung nach einer bestimmten Spalte oder Zeile )

. .

. und noch weitere Möglichkeiten
Dazu gibt es im Internet zahlreiche Hinweise und Erklärungen.
Da die zweite Spalte sehr einfach ist, kann man hier den Entwicklungssatz verwenden.

| \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} |

Sind in einer Determinante zwei Zeilen ( oder Spalten ) gleich, so ist der Wert der Determinante

= 0

\Rightarrow

die 3 gegebenen Vektoren sind linear abhängig.

Bei

(b)

musst du zwei Dinge wissen:
Wie bilde ich von 2 Vektoren aus

ℝ^{3}

das Vektor- oder Kreuzprodukt und welche Eigenschaften hat es.
Wie normiere ich einen Vektor.

(Tippfehler suchen, finden, ausbessern.)

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11:43 Uhr, 29.10.2023

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