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Lineare Unabhängigkeit

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

Reiher aktiv_icon

13:42 Uhr, 16.11.2014

Seien v1........vk є Rn .

a)Beweisen Sie : v1,….,vk sind genau dann linear abhängig, wenn es einen Vektor w є L(v1,….,vk ) gibt, der auf verschiedene Weisen aus v1,….,vk linear kombinierbar ist. Hat dann jedes w є L(v1,….,vk) diese Eigenschaft? ( Begründung oder Gegenbeispiel)
b)Seien v1,….,vk-1 є Rn linear unabhängig. Beweisen Sie: vk ist nicht Element L(v1,….,vk-1 ) genau dann , wenn v1........vk є Rn linear unabhängig ist.

abakus

14:31 Uhr, 16.11.2014

Hallo Reiher,
nehmen wir mal an, dass es für den selben Vektor zwei verschiedene Darstellungen als Linearkombination gibt.
Was passiert, wenn man die Differenz beider Darstellungsgleichungen bildet?

michaL aktiv_icon

14:32 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

unter a) hast du ja eine Äquivalenz des Typs "

A \Rightarrow B

" (

A

B

seien Aussagen) zu beweisen.

Das machst du, indem du beiden Implikationen

A \Rightarrow B

(oder kurz "

\Rightarrow

") und

B \Rightarrow A

\Leftarrow

") beweist.

Antworte, erstmal, ob dir das bis hier klar ist.

Mfg Michael

Reiher aktiv_icon

15:26 Uhr, 16.11.2014

"Hallo,

unter

a)

hast du ja eine Äquivalenz des Typs "A⇒B"

(A, B

seien Aussagen) zu beweisen.

Das machst du, indem du beiden Implikationen A⇒B (oder kurz "⇒") und B⇒A ("⇐") beweist.

Antworte, erstmal, ob dir das bis hier klar ist.

Mfg Michael"

〉

Danke, ja ich denke das habe ich soweit verstanden.
Für Aufgabe

a)

Teil 1 heißt das dann, dass ich zum Einen beweisen muss, dass die Vektoren linear abhängig sind, wenn so ein Vektor

w

existiert und zum Anderen, dass der Vektor

w

existiert, wenn die Vektoren linear abhängig sind oder?

michaL aktiv_icon

15:35 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

korrekt.

Einen Vektor

w

zu finden, gilt es für "

\Rightarrow

".

Die lineare Abhängigkeit zu zeigen, gehört zu "

\Leftarrow

".

Nun entscheide dich für eine "Richtung" und dann sehen wir weiter.

Mfg Michael

Reiher aktiv_icon

15:40 Uhr, 16.11.2014

"Hallo,

korrekt.

Einen Vektor

w

zu finden, gilt es für "⇒".

Die lineare Abhängigkeit zu zeigen, gehört zu "⇐".

Nun entscheide dich für eine "Richtung" und dann sehen wir weiter.

Mfg Michael"

〉

Ich möchte die lineare Abhängigkeit zeigen. Also "⇐".

Reiher aktiv_icon

16:29 Uhr, 16.11.2014

〉

Ok. Also ich denke mir das gerade so:
Wenn ich beweisen will, dass die Vektoren linear abhängig sind, weil dieser Vektor

w

existiert, dann muss ich ja davon ausgehen, dass dieser Vektor

w

existiert.

w \in L (v_{1}, . . v_{k})

und setzt sich aus verschiedenen Linearkombinationen der Vektoren

v_{1}, ..., v_{k}

zusammen.

So nun habe ich mir Gedanken gemacht was lineare Abhängigkeit bedeutet.
Bildlich heißt das doch, dass die Vektoren parallel (kollinear) sind. Also Vielfache voneinander.
Das impliziert, dass sich

z . B

v_{2}

als Vielfaches von

v_{1}

oder sonst einem der Vektoren

v_{1}, ..., v_{k}

schreiben lässt. Oder?
Außerdem gilt für linear unabhängige Vektoren

v_{1}, ..., v_{k} \in ℝ^{n},

dass

k \leq n

. Demzufolge müsste für linear abhängige Vektoren gelten, dass

k \geq n

ist. Wobei ich mir bezüglich dieser Eigenschaft leider nicht mehr so sicher bin, was sie bedeutet. Ich meine aber, dass dies bedeutet, dass (erneut bildlich) aus bspw. 3 Vektoren lediglich ein 2-dimensionaler Raum aufgespannt wird.

Nun weiß ich allerdings nach Zusammentragung der Informationen nicht so wirklich wie ich das in einem Beweis miteinander verknüpfen kann oder ob mir eine entscheidende Perspektive fehlt.

Wäre über Hilfe diesbezüglich sehr dankbar.
MfG Reiher

michaL aktiv_icon

16:41 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

VORSICHT!
Das wichtigste zuerst, du hast in deinem Schluss eine Logikumkehr:
> Außerdem gilt für linear unabhängige Vektoren v1,...,vk∈ℝn, dass k≤n. Demzufolge müsste für linear abhängige
> Vektoren gelten, dass k≥n ist.

Natürlich kann es auch weniger als

n

Vektoren geben, die linear abhängig sind.

Korrekte Umkehr wäre:

k > n \Rightarrow v_{1}, \dots, v_{k}

linear anhängig!

Nun zu deinem Beweis:
Finde in deiner Vorlesungsmitschrift die Definition für linear unabhängig.
Schreibe diese hier auf!

Dann sehen wir, wie man von
* es gibt einen Vektor

w

, der auf verschiedene Weisen aus

v_{1}, \dots, v_{k}

linear kombinierbar ist
zu
*

v_{1}, \dots, v_{k}

sind linear abhängig
kommt.

"Wer das Ziel nicht kennt, kann den Weg nicht finden!"
Christian Morgenstern

Mfg Michael

Reiher aktiv_icon

16:59 Uhr, 16.11.2014

Definition zu linearer Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit:

Lemma:
Seien

v_{1}, ..., v_{m} \in ℝ^{n}

. Dann sind folgende aussagen äquivalent:

(i)

\exists λ_{1}, ..., λ_{m} \in ℝ,

nicht alle gleich

0,

so dass

λ_{1} v_{1} + ... + λ_{m} v_{m} = 0

.

(ii)

\exists l \in {l, ..., m} : v_{l} \in L (v_{1}, ..., v_{l - 1}, v_{l + 1}, ..., v_{m})

(iii)

\exists l \in {l, ..., m} : L (v_{1}, ..., v_{l - 1}, v_{l + 1}, ..., v_{m}) = L (v_{1}, ..., v_{m})

〉

Gilt eine (und damit alle) der Aussagen aus dem Lemma, dann heißen die Vektoren

v_{1}, ..., v_{m}

linear abhängig, ansonsten linear unabhängig.

Danke für den Hinweis mit der umgekehrten Logik.
Oben stehende Definition haben wir zu diesem Thema erhalten.
MfG
Reiher

michaL aktiv_icon

17:05 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

fleißig.

Ich würde immer zuerst an (i) denken bei linearer Abhängigkeit.

Also, wie kommt man von

* es [gibt] einen Vektor w є L(v1,….,vk ) ..., der auf verschiedene Weisen aus v1,….,vk linear kombinierbar ist.

zu

*

v_{1}, \dots, v_{k}

sind linear abhängig im Sinne (i)
?

Tipp: w є L(v1,….,vk )

Mfg Michael

Reiher aktiv_icon

17:23 Uhr, 16.11.2014

Okay, wenn

(i)

gilt, dann gibt es also ein

λ_{l},

welches gilt

λ_{l} \neq 0

.

Das wiederum kann man dann doch so aufschreiben:

λ_{1} v_{1}, ..., λ_{l} v_{l}, ..., λ_{k} v_{k} = 0;

mit

λ_{l} \neq 0

.

Oder?
Kann ich jetzt einfach:

λ = 0

setzen also für alle

λ

außer

λ_{l}

? Oder muss ich beachten, dass auch mehrere ungleich 0 sein könnten?

Falls nicht würde ja dann dort stehen:

0 + 0 + ... + λ_{l} v_{l} + 0 + 0 = 0

.

und dann:

λ_{l} v_{l} = 0

Für

w

gilt ja

w \in L (v_{1}, ..., v_{k})

deswegen

[...]

und irgendwie fehlt mir genau dieses "deswegen".

MfG Reiher

michaL aktiv_icon

17:31 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

seufz.

Mathematik (diese) ist einfach, aber man muss auch bei der Sache bleiben.

Ich dachte, du wolltest
> ... beweisen ..., dass die Vektoren linear abhängig sind, weil dieser Vektor w existiert, dann muss ich ja davon ausgehen,
> dass dieser Vektor w existiert.

Mit anderen Worten, du wolltest zeigen:

WENN es einen Vektor

w \in L (v_{1}, \dots, v_{k})

gibt, der auf verschiedene Weisen aus

v_{1}, \dots, v_{k}

linear kombinierbar ist, DANN sind

v_{1}, \dots, v_{k}

linear abhängig.

Dann darfst du aber
> Okay, wenn (i) gilt,
davon nicht ausgehen, sondern musst beweisen, dass es aus der Existenz von

w

(s.o.) folgt.

Bitte bringe diese Dinge nicht durcheinander! Sonst kommst du überhaupt nicht vorwärts.

Gehe also davon aus, dass es einen Vektor

w \in L (v_{1}, \dots, v_{k})

gibt, der auf verschiedene Weisen aus

v_{1}, \dots, v_{k}

linear kombinierbar ist.

Wie kann man daraus beweisen, dass die lineare Abhängigkeit gemäß (i) von

v_{1}, \dots, v_{k}

gilt?

Mfg Michael

Reiher aktiv_icon

17:52 Uhr, 16.11.2014

Okay tut mir leid.

Ich habe also

w \in L (v_{1}, ..., v_{k})

und er setzt sich aus irgendwelchen Vektoren aus

v_{1}, ..., v_{k}

zusammen.

Kann ich nun annehmen, dass

v_{1}, ..., v_{k}

linear abhängig sind? Dann wäre

w

doch auch linear unabhängig oder?
Oder denke ich schon wieder verkehrtherum.

Ich kann mir einfach unter diesem Vektor

w

absolut nichts vorstellen.

Er müsste ja die Form haben:

\vec{w} = (\begin{matrix} w_{1} \\ ... \\ w_{n} \end{matrix})

und dass er sich aus Linearkombinationen zusammensetzt heißt für mich, da es verschiedene gibt, dass er sich theoretisch aus unendlich vielen

(n)

Vektoren zusammensetzen könnte.

Mir fehlt die Umsetzung dieser Vorstellung in irgendetwas was ich mathematisch aufschreiben kann?!

MfG Reiher

ledum aktiv_icon

19:04 Uhr, 17.11.2014

Hallo
du kannst dir

w

nicht vorstellen? Dann weisst du nicht was

L (v - 1 ... v_{n})

bedeutet.

L

ist eine LINEARE Abbildung.

d . h

. linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet, oder formal

L (r \cdot v_{1} + s \cdot v_{2}) = r \cdot L (v_{1}) + s \cdot L (v_{2})

Was du nun zeigen sollst ist dass du aus einer linearen Abbildung von linear abhängigen Vektoren nie lin unabhängige machen kannst.)
die Umkehrung ist falsch, du kannst aus lin unabh, lin abhängige machen)
dargestellt werden lineare Abbildungen meist mit einer Matrix . also

L_{a} (v) = A \cdot v

ℝ^{3}

kannst du dir etwa

L

als Drehung, Drehstreckung, Scherung, oder Projektion vorstellen, wenn dir das die Vorstellung erleichtert. du musst also die Eigenschaften von

L

benutzen und nicht irgendein

w

nehmen.
Gruß ledum

michaL aktiv_icon

19:23 Uhr, 17.11.2014

Hallo,

ACHTUNG,

unter

L (v_{1}, \dots, v_{k})

ist die lineare Hülle der Vektoren

v_{1}, \dots, v_{k}

gemeint.

Reiher muss nun nur herausfinden (geht hier eigentlich noch jemand zur Vorlesung und schreibt mit?), was das konkret bedeutet.

Wenn das nicht klappt, wird's mit der Aufgabe nix.

Mfg Michael

PS: Der Sinn mathematisch so einfacher Aufgaben ist es, zu lernen, wie man mit den Definitionen umgeht. Sie also herauszusuchen, korrekt auf den neuen Kontext anwendet usw.

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