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Lineare Unabhängigkeit dreier Vektoren
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Irgendwie habe ich die Lineare Abhängigkeit noch nicht so ganz verstanden, deshalb wollte ich hier mal ein Beispiel zusammen mit euch besprechen. Also wenn ich durch Addition zwei dieser Vektoren einen dritten abbilden kann, sind die Vektoren linear abhängig. Wenn nicht, dann unabhängig. Das ist noch richtig oder? Wie finde ich jetzt ein ,so dass ich über die obere Aussage erfahre, ob die Vektoren unabhängig oder nicht sind? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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aus den 3 Vektoren kannst du 3 Gleichungen bilden wenn Du dafür eine Lösung findest, sind die Vektoren linear abhängig |
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Hallo! Ich sitze auch gerade über einer ähnlichen Aufgabe... Ich bin allerdings gerade dabei eine recht umständlich Varaiante zu verwenden und die Behauptungen usw. zu wiederlegen. Wie hast du die Gleichungen gebildet? |
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es waren drei Vektoren gegeben.
aus der ersten Zeile der Vektoren entsteht die erste Gleichung. aus der zweiten Zeile die zweite Gleichung usw. Ich sehe gerade, dass ich einen Tipfehler hatte, in der ersten Zeile muß vor dem eine 1 stehen |
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Oh mann, da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf! Danke für die Aufklärung! |
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Das gilt aber nur für eine von 0 verschiedene Lösung oder? Sonst ist ja jeder Vektor linear abhängig, oder verstehe ich da was falsch? Wie finde ich denn alle Lösungen eines homogenen Gleichungssystems? |
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Wenn Du das Gleichungssystem lösen kannst, sind die Vektoren linear abhängig. Wenn Du keine Lösung findest, sind sie linear unabhängig.
Geometrisch bedeutet das, lineare abhängige Vektoren liegen auf einer Ebene im Raum. Deswegen kann man sie addieren und es entsteht ein Nullvektor. Eine Gleichung, die lösbar ist, liegt ebenfalls auf einer Ebene im Raum, deswegen findet man ja die 3 Unbekannten . |
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Ich glaube ich bin zu blond... Wenn habe ich doch für jeden Vektor immer lineare Abhängigkeit oder nicht? In diesem konkreten Fall mit drei Vektoren habe ich dann dreimal Wenn ich jetzt die Vektoren habe, kann ich ja auch behaupten das diese linear abhängig sind, weil das homogene Gleichungssystem dazu ja immer die 0 Lösung eventuelle weitere hat. Oder habe ich deine Grundaussage schon falsch verstanden? |
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Hallo, Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie sich nur trivial zum Nullvektor kombinieren lassen. D. nur wenn ich jeden Vektor mit null mulitiplizieren bekomme ich den Nullvektor heraus. Gibt es noch eine andere Lösung, also dass mindestens einer der Faktoren von null verschieden ist, dann sind die Vektoren linear abhängig. Grüße |
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Drei Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
nur die triviale Lösung hat. Wenn Du aber eine Lösung mit Werten für findest, sind die Vektoren linear abhängig Wenn Du drei Streichhölzer(Vektoren) auf ein Blatt Papier legst, dann kannst du durch Verlängern oder Verkürzen der Hölzer immer ein geschlossenes Dreieck bilden. Das Verlängern und Verkürzen sind die Faktoren und die du berechnest,damit das Dreieck ohne Abstand (also Null) sich schließen läßt. Die drei Vektoren (Streichhölzer) sind linear abhängig und du findest immer eine Lösung. Wenn Du ein Streichholz senkrecht auf das Papier stellst, sind alle drei Vekoren linear unabhängig und du findest kein Dreieck das sich schließen läßt. Wenn Du die Steichhölzer festklebst kannst Du das Blatt Papier (Ebene) im Raum bewegen und die Vektoren bleiben linear abhängig. Fazit: Drei linear abhängige Vektoren liegen immer auf einer Ebene |
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Wie finde ich denn alle Lösungen eines homogenen GS? wenn ich jetzt mal und betrachte sehe ich das diese Vektoren selbstverständlich linear abhängig sind. Aber wie finde ich alle Lösungen des Gleichungssystems? Da bekomme ich ja wieder was mir nach euren Aussagen sagen sollte, dass es linear unabhängig ist.... Wie finde ich denn die anderen Lösungen, wie Ist ja nicht immer so offensichtlich wie in diesem Beispiel. |
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Du mußt Dir schon die Mühe machen, den Text oben genau zu lesen. Nur wenn es eine einzige Möglichkeit gibt und ist der Vektor linear unabhängig. In deinem Fall kannst du das Gleichungssystem mit der Additionsmethoge oder Gleichsetzungsmethode oder Einsetzungsmethode lösen. |
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Ich habe das schon gelesen. Aber dennoch verstehe ich nicht wie ich eine von verschiedene Lösung bekomme, wenn es sich um ein homogenes GS handelt. Klar ich addiere etc. irgendwann hat man dann . das setze ich ein. Dann habe ich die setze ich auch wieder ein und bekomme . Davon kenne ich die anderen Lösungen doch trotzdem nicht... Wenn auf der einer Seite eines GS nur 0en stehen, bekomme ich bei normalem Lösen des GS immer alle Variablen . Geht ja auch garnicht anders, nach diesem Prinzip da ich ja nie von 0 verschiedene Werte auf der rechten Seite habe und somit natürlich . folgt. Die Lösung ist doch einfach nur geraten, weil das GS so simpel ist. Es muss doch einen Weg geben das zu berechnen, sonst weiß ich ja nie, ob es noch andere Lösungen gibt, als die triviale Lösung. Woraus wiederum folgt das man dann fälschlicherweise annimmt, das die Vektoren linear unabhängig sind, obwohl sie es garnicht sind. Ich hoffe das ist verständlicher rübergekommen. |
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bei dem letzten Gleichungssystem handelt es sich nicht um 3 linear abhängige Vektoren sondern nur um einen linear abhängigen Vektor. Also einen Vektor der in der Länge verändert wird, aber die Richtung beibehält. bei drei unabhängigen Vektoren liegen zwei auf einer Ebene, der Dritte zeigt in eine von der Ebene unabhängige Richtung.
Dein erster Vektor heißt der zweite und der dritte |
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